Differenzierbarkeit n-te Wurzelfunktion

28.12.2010, 19:03

Olli85

Differenzierbarkeit n-te Wurzelfunktion

Meine Frage:
Habe im Anhang eine Matheaufgabe hochgeladen.

Diese Aufgabe soll mit Hilfe der Kettenregel bearbeitet werden. Beim normalen Ableiten kann ich das Ergebnis nachvollziehen. Wie aber soll das nach der Kettenregel aussehen? Ich komme auf kein vernünftiges Ergebnis unglücklich

Meine Ideen:
Meine Ansätze:

Kettenregel mit äußerer Funktion : 1/n -> n^-1
Innere Funktion x^1/n

Das wäre dann ja: 1*1/n * -n^-2 ?!

Edit: Was hat das mit Algebra zu tun? Wir sind kein Verschiebebahnhof! Gruß, Reksilat.

28.12.2010, 22:45

ehtaM

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Ich weiß zwar nicht warum die Kettenregel, aber nun gut.

innere Ableitung * äussere Ableitung

Die innere Funktion ist das x, daher die innere Ableitung=1.

Also $\begin{eqnarray*} f'(x)= 1 *\frac{1}{n} *x^{\frac{1}{n}-1 } \end{eqnarray*}$

und dies kann man dann weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{n} *x^{\frac{1}{n}- 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n}*x^{\frac{1}{n}-\frac{n}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n}*x^{-(\frac{n-1}{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n}*\frac{1}{x^{(\frac{n-1}{n})}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n}*{\frac{1}{\sqrt[n]{x^{n-1}}}} \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 00:57

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von ehtaM
Ich weiß zwar nicht warum die Kettenregel, aber nun gut.

innere Ableitung * äussere Ableitung

Die innere Funktion ist das x, daher die innere Ableitung=1.

Also $\begin{eqnarray*} f'(x)= 1 *\frac{1}{n} *x^{\frac{1}{n}-1 } \end{eqnarray*}$

Damit hast du Behauptung bewisen, indem du die Behauptung genutzt hast. Es soll wohl eher um den Satz über die Umkehrfunktion gehen, der eine Abkürzung der Kettenregel ist, wenn man ihn nicht in der Vorlesung hatte.

30.12.2010, 10:20

olli85

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hm, den satz hatten wir noch nicht in der vorlesung. werde das mal nachschlagen

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