Bestimmen von a,b,c

21.11.2006, 12:15

mathpower

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Bestimmen von a,b,c

Bestimme die Werte von a,b,c in g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 7 \\ a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} c \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so daß gilt: (1) g schneitet E (2) g ist parallel zu E und (3) g liegt auf E.

So als erstes habe ich die Gleichungen aufgestellt um s und t zu ellimnieren. So jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} 17c=6+7r+ra-4rb \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} c=\frac{6+7r+ra-4rb}{17} \end{eqnarray*}$ .
Mir ist bewusst wenn ich jetzt (1) ausrechnen muss das es genau eine Lösung benötige. Allerdings weis ich jetzt wie mit $\begin{eqnarray*} c=\frac{6+7r+ra-4rb}{17} \end{eqnarray*}$ weiterverfahren muss. Kann mir das mal einer erklären?

21.11.2006, 12:23

Bjoern1982

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Hallo

Versuche lieber die Ebene in Koordinatenform zu schreiben.
Damit geht alles gaaaanz einfach smile

smile

Gruß Björn

21.11.2006, 12:28

mathpower

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Die Koordinatenform wäre jetzt: 9x+2y-3z=9c+2. Müsste doch so stimmen. Jetzt muss ich einsetzen oder?

21.11.2006, 12:36

Poff

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g schneidet e

Ne * Rg <>0

21.11.2006, 12:47

Bjoern1982

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Deine Koordinatenform stimmt Freude

Freude

Jetzt setze so an wie Poff es beschrieben hat und folgere daraus was für die anderen beiden Fälle (echte Parallelität und g ist Teilmenge von E) gelten muss.

Gruß Björn

21.11.2006, 15:42

mathpower

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Hm so richtig verstehe ich das nicht was Poff da meint. Damit meine Ne und Rg.
Eigentlich würde ich jetzt so weiter machen:
9*(1+7r)+2*(2+ra)-3*(3+rb)=9c+2
9+63r+4+2ra-9-3rb=9c+2
2+63r+2ra-3rb=9c

Allerdings hätte ich dann das gleiche Problem wie oben.

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21.11.2006, 16:08

Bjoern1982

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Geht auch so.

Löse die Gleichung nach r auf und überlege wann ein Schnittpunkt enstehen kann...mit besonderem Augenmerk auf den Nenner Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und parallel wären Gerade und Ebene ja genau dann, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden stehen würde.

Deshalb wäre es hier sinnvoll mit der Lotbedingung (siehe Poff) anzusetzen.

Gruß Björn

21.11.2006, 16:20

mathpower

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2+63r+2ra-3rb=9c
63r+2ra-3rb=9c-2
r*(63+2a-3b)=9c-2
$\begin{eqnarray*} r=\frac{9c-2}{63+2a-3b} \end{eqnarray*}$

Also a=33 und b=-1 damit keine Lösung vorhanden ist. Damit wäre g parallel zu E. Allerdings wenn a und b nicht diese Werte hätte, schneitet g , E aber dazu liegt g auf der Ebene e.

21.11.2006, 16:30

Bjoern1982

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So kannst du es nicht sehen, denn a=33 und b=-1 wäre nur ein Beispiel.

a=0 und b=21 wäre eine weitere....

Du musst den Nennerterm null setzen und dann z.B. nach b auflösen.

Dadurch erhälst du die allgemeine Bedingung dafür, dass kein Schnittpunkt entstehen kann.

Gruß Björn

21.11.2006, 16:46

mathpower

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0=63+2a-3b
3b=63+2a
$\begin{eqnarray*} b=\frac{63-2a}{3} \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 16:52

Bjoern1982

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Jap, kann man nochn bisschen schöner schreiben, aber ok smile

smile

Und jetzt noch den Fall untersuchen, wenn Gerade und Ebene parallel zueinander liegen bzw g in E liegt.

Ist dir klar warum diese Lotbedingung gelten muss ?

21.11.2006, 16:57

mathpower

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Nein ist mir nicht so richtig klar.
g ist doch zu E nur parallel wenn der Nenner 0 ist . Oder sehe ich das falsch?

21.11.2006, 17:10

Bjoern1982

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Huch...da hab ich was verwurschtelt...hast natürlich recht.
Entschuldige.

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann sind g und E parallel zueinander, da eben kein Schnittpunkt existiert.

Ich bin jetzt erstmal weg, schaue aber heute abend nochmal rein.

Bis dann Wink

Wink

21.11.2006, 17:11

mathpower

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Und wenn b ungleich des oben angegeben ist dann ist g in E. Ist doch richtig so?

22.11.2006, 01:24

Bjoern1982

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Nein, das stimmt nicht.

Denn wenn diese Gleichung für b nicht gilt bedeutet dies, dass ein Schnittpunkt existiert, da der Nenner ja jetzt nicht mehr null werden kann und man somit den Parameter r in die Gerade g einsetzen kann, wodurch der Schnittpunkt berechnet werden kann.

g würde in E liegen wenn n*rg=0 gilt und irgendein Punkt der Geraden (der Punkt (1/2/3) bietet sich an) in der Ebene liegen würde.

Gruß Björn

22.11.2006, 07:45

Primzahl

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ich hab mal ne frage. ist es überhaupt erlaubt den nennerterm 0 zu setzen. ich dachte die rechenoperation durch 0 zu dividieren ist nicht erlaubt.

22.11.2006, 09:27

Bjoern1982

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Eben dass das nicht erlaubt ist macht man sich hier zu Nutze.
Denn in allen anderen Fällen, also wenn der Nenner nicht null werden kann, ist es ja kein Problem nach r aufzulösen und in die Gerade g einzusetzen.

Gruß Björn

22.11.2006, 09:56

mathpower

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Frage was bedeutet rg? n bedeutet doch nenner oder?

22.11.2006, 09:57

Bjoern1982

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rg ist der Richtungsvektor der Geraden
n ist der Normalenvektor der Ebene

Gruß Björn

22.11.2006, 11:38

mathpower

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also um den Normalvektor von E zuerhalten muss man ja: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}= 0 \end{eqnarray*}$
damit erhalte das LGS: $\begin{eqnarray*} n_1+3n_2+5n_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -n_1+9n_2+3n_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12n_2+8n_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n_2=-\frac{2}{3}n_3 \end{eqnarray*}$
somit wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normavekotor von E.
Jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 7 \\ a \\ b \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -63 \\ -2a \\ 3b \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Hat man da jetzt nicht ein falsche Aussage da -63=0? Bedeutet das g nicht auf E liegt?

22.11.2006, 12:43

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 7 \\ a \\ b \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

So ist das Skalarprodukt aber nicht definiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

22.11.2006, 16:03

mathpower

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ a \\ b \end{pmatrix}=-63-2a+3b \end{eqnarray*}$

damit wäre $\begin{eqnarray*} b=\frac{63+2a}{3} \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 16:11

Bjoern1982

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Genau, das wäre also die schon von poff vorgeschlagene Lösung.
Für

Zitat:

$\begin{eqnarray*} b=\frac{63+2a}{3} \end{eqnarray*}$

sind E und g also parallel. g würde in E liegen wenn irgendein Punkt von g in E liegen würde.

Nimm doch mal den Aufhängepunkt (Stützpunkt) von g, setze ihn in die Koordinatengleichung der Ebene ein und löse nach c auf.

Dieses Ergebnis plus die Bedingung für b liefert dir das Kriterium dafür wann g in E liegt.

Gruß Björn

22.11.2006, 16:49

mathpower

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9*1+2*2-3*3=9c+2
$\begin{eqnarray*} c=\frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Damit muss c= 2 sein und $\begin{eqnarray*} b=\frac{63+2a}{3} \end{eqnarray*}$ damit g in E liegt.

22.11.2006, 16:55

Bjoern1982

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Kleiner Schreibfehler, aber ansonsten stimmts Freude

Freude

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