Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

28.12.2010, 20:41

GignoLabati

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Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Guten Abend!

Ich brüte seit ewiger Zeit über folgender Aufgabe:

"Seien $\begin{eqnarray*} S=\sum a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T=\sum b_n \end{eqnarray*}$ Reihen mit positiven Summanden, die durch die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$

verbunden sind.

Zu zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ konvergiert, konvergiert auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ."

Meine Ideen:
Mein Ansatz war, eine Umordnung von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu betrachten, sodass $\begin{eqnarray*} b_{\sigma(n)} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist. Dann lassen sich die höchstens endlich oft mehrfach vorkommenden Reihenglieder (da $\begin{eqnarray*} b_n\to 0 \end{eqnarray*}$ ) noch herausziehen und man hat eine streng monoton fallende Folge, sodass immer gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} < 1 \end{eqnarray*}$
Dann wollte ich das Quotientenkriterium auf $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ anwenden.
Aber dann ist mir aufgefallen, dass das nicht geht, da
$\begin{eqnarray*} \limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ durchaus auch genau 1 sein könnte, und dann bringt mir das alles nichts.

Bitte keine vollständigen Lösungen - ich will noch selber drauf kommen. Aber vielleicht hat jemand einen kleinen Tipp für mich.

Liebe Grüße, F.

29.12.2010, 11:57

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Ich weiß nicht welche Formulierung des Wurzelkriteriums dir vorliegt. Vielleicht kannst du das posten.

In der mir vorliegenden Fassung ist dein Einwand, dass der Limessuperior = 1 sein könnte im vorliegenden Fall nicht relevant.

29.12.2010, 13:53

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Also ich wollte eigentlich das Quotientenkriterium verwenden. Das hatten wir wie folgt eingeführt:

Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls sie folgendes Kriterium erfüllt:
$\begin{eqnarray*} q= \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium entsprechend:

Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls sie folgendes Kriterium erfüllt:
$\begin{eqnarray*} r= \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} < 1 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Unterstützung! Ich sitz' schon seit einer Woche dran und komme nicht zum Ende.

29.12.2010, 17:26

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Hier eine andere Formulierung des Quotientenkriteriums:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a_n}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ eine Reihe mit $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$
Gibt es ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, dann ist die Reihe absolut konvergent.

Wenn du zeigen kannst, dass diese Formulierung zu deiner äquivalent ist, dann war 's das.

29.12.2010, 18:02

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Ok. Die beiden Formulierungen sind äquivalent, weil der größte Wert, der fast immer angenommen wird, genau $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ entspricht. Wenn der $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \in \left]0,1\right[ \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt ja genau
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Bisher habe ich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber weil $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n}=1 \end{eqnarray*}$ sein könnte, kann ich doch nicht ohne Weiteres ein unabhängiges $\begin{eqnarray*} q \in \left]0,1\right[ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{eqnarray*}$ annehmen, oder mache ich einen Denkfehler?

29.12.2010, 18:10

tmo

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Quotienten- oder Wurzelkriterium werden hier nicht helfen, da sie nur hinreichend, aber nicht notwendig sind.

Du solltest es mit dem Majorantenkriterium versuchen, eine Abschätzung gewinnst du durch Iterative Anwendung der Vorraussetzung: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$

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29.12.2010, 18:37

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
$\begin{eqnarray*} \limsup\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \end{eqnarray*}$ kann nicht $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn dann würde $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ divergieren.

(Das ist ein Zusatz zum Quotientenkriterium, der sich recht einfach beweisen lässt.)

Offensichtlich kennt ihr diesen Zusatz nicht und dürft ihn deshalb ohne Beweis nicht verwenden. Sollte jemand Interessen an dem Beweis haben poste ich ihn gern.

Auf jeden Fall ist damit die Umkehrung möglich und das Wurzelkriterium verwendbar.

29.12.2010, 18:40

GignoLabati

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Vielen Dank für die Antwort!

Ok, dass ich so nicht weiterkomme, hatte ich befürchtet...

Kann ich wie folgt abschätzen?

Setze $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} =: q_n \end{eqnarray*}$ . Dann folgt iterativ:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_1\cdot\prod_{i=1}^{n-1} q_i \leq a_1\cdot\max(q_i)^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n-1 \end{eqnarray*}$

Dann ist die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} a_1\cdot \sum \max(q_i)^{n-1} \end{eqnarray*}$ konvergente Majorante von $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \max(q_i)^{n-1}<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Soweit war ich schonmal, aber ich war mir mit dem $\begin{eqnarray*} \max(q_i) \end{eqnarray*}$ nicht sicher...

29.12.2010, 18:43

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von gotfried
$\begin{eqnarray*} \limsup\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \end{eqnarray*}$ kann nicht $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn dann würde $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ divergieren.

(Das ist ein Zusatz zum Quotientenkriterium, der sich recht einfach beweisen lässt.)

Offensichtlich kennt ihr diesen Zusatz nicht und dürft ihn deshalb ohne Beweis nicht verwenden. Sollte jemand Interessen an dem Beweis haben poste ich ihn gern.

Auf jeden Fall ist damit die Umkehrung möglich und das Wurzelkriterium verwendbar.

Wir hatten gesagt, dass bei $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{b_{n+1}}{b_n}=1 \end{eqnarray*}$ keine allgemeine Aussage zur Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum b_n \end{eqnarray*}$ möglich ist...

EDIT: Vertippt: a durch b ersetzt.

29.12.2010, 18:56

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von GignoLabati

Zitat:

Original von gotfried
$\begin{eqnarray*} \limsup\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \end{eqnarray*}$ kann nicht $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn dann würde $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ divergieren.

(Das ist ein Zusatz zum Quotientenkriterium, der sich recht einfach beweisen lässt.)

Offensichtlich kennt ihr diesen Zusatz nicht und dürft ihn deshalb ohne Beweis nicht verwenden. Sollte jemand Interessen an dem Beweis haben poste ich ihn gern.

Auf jeden Fall ist damit die Umkehrung möglich und das Wurzelkriterium verwendbar.

Wir hatten gesagt, dass bei $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{b_{n+1}}{b_n}=1 \end{eqnarray*}$ keine allgemeine Aussage zur Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum b_n \end{eqnarray*}$ möglich ist...

EDIT: Vertippt: a durch b ersetzt.

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \lim \frac{(n+1)^2}{n^2} = \lim\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2} \right)= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent. Oder missverstehe ich Dich?

29.12.2010, 18:59

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von GignoLabati

Zitat:

Original von GignoLabati

Zitat:

Original von gotfried
$\begin{eqnarray*} \limsup\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| \end{eqnarray*}$ kann nicht $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn dann würde $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ divergieren.

(Das ist ein Zusatz zum Quotientenkriterium, der sich recht einfach beweisen lässt.)

Offensichtlich kennt ihr diesen Zusatz nicht und dürft ihn deshalb ohne Beweis nicht verwenden. Sollte jemand Interessen an dem Beweis haben poste ich ihn gern.

Auf jeden Fall ist damit die Umkehrung möglich und das Wurzelkriterium verwendbar.

Wir hatten gesagt, dass bei $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{b_{n+1}}{b_n}=1 \end{eqnarray*}$ keine allgemeine Aussage zur Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum b_n \end{eqnarray*}$ möglich ist...

EDIT: Vertippt: a durch b ersetzt.

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \lim \frac{(n+1)^2}{n^2} = \lim\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2} \right)= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent. Oder missverstehe ich Dich?

Vergesst das: Denkfehler. Zähler und Nenner vertauscht. Peinlich....

So meinte ich:
$\begin{eqnarray*} \lim \frac{n^2}{(n+1)^2} = \lim\left(\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} \right)= 1 \end{eqnarray*}$
Ändert aber im Prinzip nichts.

29.12.2010, 19:15

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Sorry, meine Fehler. Es muss natürlich heißen
für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Die Beweiskette ist meiner Meinung nach mit dem Wurzelkriterium schlüssig:

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ konvergiert -> $\begin{eqnarray*} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|< 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q \end{eqnarray*}$ .

29.12.2010, 19:20

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von gotfried
Sorry, meine Fehler. Es muss natürlich heißen
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Ist die Formulierung "für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ " nicht gleichbedeutend mit der Betrachtung von Häufungspunkten respektive limes superior?

29.12.2010, 19:34

tmo

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von gotfried
Die Beweiskette ist meiner Meinung nach mit dem Wurzelkriterium schlüssig:

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ konvergiert -> $\begin{eqnarray*} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|< 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q \end{eqnarray*}$ .

Da stecken mehrere Fehler drin. Nur weil eine Reihe konvergiert, heißt das nicht, dass man die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium herausfinden kann.

@GignoLabati: Zeige doch mal induktiv: $\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{a_1}{b_1} b_n \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt alles.

29.12.2010, 19:36

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von gotfried
Die Beweiskette ist meiner Meinung nach mit dem Wurzelkriterium schlüssig:

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ konvergiert -> $\begin{eqnarray*} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|< 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q \end{eqnarray*}$ .

Das dachte ich zuerst auch, aber dieses $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ müsste doch $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ sein. Dieser limsup kann aber auch genau 1 werden.

29.12.2010, 19:41

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Ist die Formulierung "für fast alle " nicht gleichbedeutend mit der Betrachtung von Häufungspunkten respektive limes superior?

Nein, siehe dein Beispiel hier gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Für fast alle heißt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ heißt: alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit endlich vielen Ausnahmen. In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ die einzige Ausnahme.

29.12.2010, 19:44

GignoLabati

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von tmo
@GignoLabati: Zeige doch mal induktiv: $\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{a_1}{b_1} b_n \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt alles.

So wie ich es oben gemacht hatte mit $\begin{eqnarray*} max\left(\frac{b_{i+1}}{b_i}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n-1 \end{eqnarray*}$ geht nicht?

Dankeschön! Du hast mich erlöst.
Ein frohes neues Jahr an alle!

29.12.2010, 19:46

tmo

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Das mit dem Maximum würde nicht klappen. Es muss ja gar nicht existieren. Und wenn es existiert (bzw. man das Supremum benutzt), könnte es ja 1 sein und die zugehörige geometrische Reihe wäre gar nicht konvergent.

29.12.2010, 19:46

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Das dachte ich zuerst auch, aber dieses $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ müsste doch $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ sein. Dieser limsup kann aber auch genau 1 werden.

Sieh dir meine Formulierung des Wurzelkriteriums an. Danach ist der Beweis aufgebaut. Und deshalb die Frage sind beide Formulierungen des Wurzelkriteriums äquivalent.

29.12.2010, 19:48

GignoLabati

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Zitat:

Original von tmo
Das mit dem Maximum würde nicht klappen. Es muss ja gar nicht existieren. Und wenn es existiert (bzw. man das Supremum benutzt), könnte es ja 1 sein und die zugehörige geometrische Reihe wäre gar nicht konvergent.

Ok. Danke sehr!

29.12.2010, 19:59

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

@tmo: Da stecken mehrere Fehler drin. Nur weil eine Reihe konvergiert, heißt das nicht, dass man die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium herausfinden kann.

Du meinst sicher die erste Folgerung, allgemein kann man das natürlich nicht. In diesem Fall würde ich aber der Argumentation von GinoLabati im ersten Posting folgen.

30.12.2010, 10:38

Manni Feinbein

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von gotfried
In diesem Fall würde ich aber der Argumentation von GinoLabati im ersten Posting folgen.

Womit Du auch weiterhin auf dem Holzweg bleiben würdest.

Warum weigerst Du Dich so konsequent den von tmo dargelegten Ansatz zu verfolgen?

Eine andere, vergleichbar einfache und elegante Lösung wirst Du wohl kaum finden.

30.12.2010, 11:07

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
@Manni Feinbein

Ich stelle die Eleganz und Einfachheit der Lösung von tmo nicht in Frage. Ich finde nur keinen Fehler und zugegebenermaßen viel umständlicheren Lösungsweg über das Quotientenkriterium.

Das sollte auch auf keinen Fall eine Gegenargumentation zum besseren Lösungsweg über das Majorantenkriterium sein (meisten haben sich die Antworten von mir und tmo zeitlich überschnitten).

Ich wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte, wo in der Argumentation von GinoLabati der Fehler steckt. Denn wenn man davon ausgeht, dass das Quotientenkriterium für T anwendbar ist, stimmt ja der Rest.

Das hat nichts mehr direkt mit der Frage von GinoLabati zu tun - aber es interessiert mich halt.

30.12.2010, 11:23

Manni Feinbein

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Vorausgesetzt ist lediglich die Konvergenz von T.
Laut Quotientenkriterium kannst Du daraus lediglich folgern, dass es kein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus lässt sich hinsichtlich des Konvergenzverhaltens von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nichts folgern.

30.12.2010, 11:35

gotfried

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RE: Vergleichskriterium zur Konvergenz von Reihen
Danke für die Antwort.

Und das wollte GinoLabati durch die Umordnung umgehen. Und genau hier lag mein Denkfehler: durch die Umordnung ist die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$
nicht mehr gewährleistet.

Danke nochmal, die Konsequenzen, wenn das funktioniert hätte wären ja auch enorm.

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