Differenzenquotient, L'Hospital

28.12.2010, 22:27

refle

Differenzenquotient, L'Hospital

Meine Frage:
Hi,
ich sollte folgende Aufgabe beantworten:
[attach]17316[/attach]

Meine Ideen:
[attach]17317[/attach]
angeblich stimmt hier was nicht, aber ich verstehe einfach nicht, was da falsch ist...

29.12.2010, 00:53

Gastmathematiker

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RE: Differenzenquotient, L'Hospital
Der dritte Ausdruck ist überhaupt nicht definiert, da dort $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ steht. (Mal ganz abgesehen von der mangelhaften Notation)

29.12.2010, 10:08

refle

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weil 0/0 steht, wende ich ja gerade l'hospital an...

29.12.2010, 11:17

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von refle
weil 0/0 steht, wende ich ja gerade l'hospital an...

Nein, das geht nicht, denn da steht $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ und kein Grenzwert, der gegen " $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ geht".

29.12.2010, 13:03

refle

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tut mir led das verstehe ich nicht, ich lasse doch das x nur gegen a gehen, das x erreicht das a aber doch nie...

genauso könnte (müsste man nicht, aber ich könnte) doch hier l'hospital angewendet werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x/x =_{l'hospital}= \lim_{x \to 0} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

da steht ja auch 0/0....

wo ist mein denkfehler?

29.12.2010, 14:27

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von refle
genauso könnte (müsste man nicht, aber ich könnte) doch hier l'hospital angewendet werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x/x =_{l'hospital}= \lim_{x \to 0} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

da steht ja auch 0/0....

Da steht nicht wirklich 0/0, sondern $\begin{eqnarray*} x/x \end{eqnarray*}$ ist für jedes $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ wohldefiniert, nur der Grenzwert ist jeweils 0, du hast aber da stehen $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to x_0} 0/0 \end{eqnarray*}$ und das eribt nunmal keinen Sinn.

29.12.2010, 15:09

refle

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ah ok, jetzt versteh ich den einwand.
wie sieht es dann hiermit aus:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{a \to x_0} \lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))}{x-a} = l'hospital = \lim_{a \to x_0} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{1}=\lim_{x \to x_0} f'(x) \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich ja wirklich nen grenzwert dort stehen. ich denke da darf ich jetzt den l'hospital anwenden.
gemäß angabe existiert ja die ableitung von f(x) an jeder stelle, nur an x_0 weiß man es noch nicht. also weiß ich, dass: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{1} \end{eqnarray*}$ existiert. deswege bild ich halt erstmal die ableitung an den stellen a und lasse dann diese gegen x_0 gehen.

aber mein erstes "=" scheint mir ein bischen in der luft zu schweben. ich meine darf ich das denn sagen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{a \to x_0} \lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))}{x-a} \end{eqnarray*}$ ??

29.12.2010, 17:34

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von refle
aber mein erstes "=" scheint mir ein bischen in der luft zu schweben. ich meine darf ich das denn sagen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{a \to x_0} \lim_{x \to a} \frac{(f(x)-f(a))}{x-a} \end{eqnarray*}$ ??

Ah, das hab ich eben übersehen, da mir sofort der eklatante 0/0 Fehler aufgefallen ist. Nein, das geht natürlich im Allgemeinen nicht, wieso auch?

30.12.2010, 12:54

refle

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ok anscheinden stimmt mein ansatz nicht.
ich würde mich aber sehr freuen, wenn mir jemand explizit meinen denkfehler ERKLÄREN könnte, damit ich den nichtmehr mache.
Also hier nochmal meine lösung... wo ist der haken?

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=6924659

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