Wohin schickt eine Funktion den Nullvektor?

28.12.2010, 22:02	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohin schickt eine Funktion den Nullvektor? Meine Frage: Hallo! Ich habe nur eine kurze Frage, die ich für einen Beweis benötige. Ich habe einen Unterraum U (zugehörig zum Vektorraum V), der nur aus dem Nullvektor besteht. Ich betrachte nun den Annulator U°. Dieser beinhaltet ja alle Abbildungen aus dem Dualraum V, die jedes u aus U auf Null schicken. Meine Ideen:* Nun besteht ja mein Unterraum nur aus dem Nullvektor. Kann ich dann auch sagen, dass jede beliebe Abbildung den Nullvektor auf Null schickt und damit V*=U° ist?
28.12.2010, 23:32	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Elemente des Dualraumes lineare Abbildungen sind, würde ich sagen ja.
29.12.2010, 07:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann sich alternativ auch überlegen, dass für einen Unterraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eines n-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \dim U^0=n-\dim U \end{eqnarray}$ gilt. Für den nulldimensionalen Unterraum ergibt sich dann sofort als Annulator der gesamte Dualraum.
29.12.2010, 16:45	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke schon mal! Das heißt, aus $\begin{eqnarray} dim U° = dim V \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} U°=V^{} \end{eqnarray*}$ ? Könntest du das vielleicht etwas näher erläutern?
29.12.2010, 18:41	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt ja die Dimensionsformel $\begin{eqnarray} ~ \dim U+ \dim U°= \dim V=:n \end{eqnarray}$ Nach deiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray} U=\{0 \} \text{ und damit } \dim U=0 \text{ , also auch } \dim U°=\dim V \end{eqnarray}$ . Weiter gilt stets $\begin{eqnarray} ~ \dim V= \dim V^ \text{ und wegen } U° \subseteq V^* \text { auch } U°=V^* \end{eqnarray*}$ . P.S.: Streng genommen muss hier noch voraussgesetzt werden, dass V endlich-dimensional ist, weil das ganze hier sonst keinen Sinn macht, aber ich denke mal, dass es klar gewesen ist.
30.12.2010, 14:54	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dankeschön!
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