grenzwert e-funktion

29.12.2010, 13:17

Max86

grenzwert e-funktion

Meine Frage:
ich beschäftige mich grad mit dieser aufgabe

zeigen sie dass lim x gegen unendlich e^x / e^(e^x) = 0 ist.

Meine Ideen:
diese funktion hab ich erst umgeformt:
lim x gegen unendlich e^(x-e^x)=0

komme leider nicht weiter
ich hoffe ihr könnt mir helfen
thx im vorraus schonmal

29.12.2010, 13:31

corvus

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RE: grenzwert e-funktion

Zitat:

Original von Max86

zeigen sie dass lim x gegen unendlich e^x / e^(e^x) = 0 ist.

im vorraus <-..schonmal im Duden nachauen

.. vielleicht de l'Hospital? verwirrt

29.12.2010, 13:37

Max86

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l´hospital hatten wir noch nicht
da müsste noch ein anderer weg geben als l´hospital

29.12.2010, 13:54

baphomet

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Eine andere Möglichkeit wäre Substitution:

$\begin{eqnarray*} {e^x}=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ln(u)}}{ e^u} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Potenzgesetze anwenden und darauffolgengend den Grenzwert
ermitteln.

29.12.2010, 13:59

Max86

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durch substitution erhalte ich
1/ u^u =0 für u gegen unendlich

somit ist das bewiesen?

29.12.2010, 14:05

baphomet

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Bei mir kommt das hier raus, und wenn man das Potenzgesetz anwendet und
dann den Logarithmus zieht, was erhälts du dann?
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ln(u)}}{ e^u} \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 14:09

Max86

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dann erhalte ich
u/e^u = 0

29.12.2010, 14:18

Max86

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kannst mir noch kurz erklären wie du auf dein ergebnis kommst
verstehe das nicht so ganz

29.12.2010, 14:24

baphomet

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Es geht auch ohne Substitution, wir wenden die Potenzgesetze an und dann
den Logarithmus.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{ e^{e^x}}=e^{x-{e^x}} \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzen wir den Logarithmus und es entsteht folgendes

$\begin{eqnarray*} =x-e^x \end{eqnarray*}$

Was wächst schneller, e-Funktion oder lineare Funktion?

29.12.2010, 14:33

Hansij67

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Zwischenfrage @ baphomet

wieso ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^{x-e^x} = \lim_{x \to \infty}ln( e^{x-e^x}) \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 14:36

Max86

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lineare funktionen wachsen schneller
dann ist x-e^x=0 für x gegen unendlich
ist das der beweis?

29.12.2010, 14:37

baphomet

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Ich habe doch nur den vorhandenen Term in eine andere Form überführt mit
der sich der Grenzwert besser bestimmen lässt.
Wir schauen uns im Moment nur den Exponenten an, der Grenzwert der von
dir beiden verschiedenen Funktionen ist nicht der gleiche.

@Max86

Dein Schluß ist falsch, die e-Funktion wächst schneller als eine lineare Funktion.
Hier mal ein Plot.

Daraus kannst du schließen das der Exponent für große x-Werte negativ wird.
Was kannst du deshalb schlussfolgern?

29.12.2010, 14:44

Max86

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danke für deine antwort
ich hätte noch eine frage
wie kommst du bei der substitution auf

e^ln u / e^u ?

29.12.2010, 14:49

Hansij67

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Zitat:

Original von baphomet

Ich habe doch nur den vorhandenen Term in eine andere Form überführt mit
der sich der Grenzwert besser bestimmen lässt.

Also ist deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} e^{x-e^x}=x-e^x \end{eqnarray*}$ ,oder wie?

Man kann auch mMn nicht sagen , dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Du hast dort $\begin{eqnarray*} \infty -\infty \end{eqnarray*}$ , worüber man nicht aussagen kann so.

29.12.2010, 14:52

baphomet

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Wir substituieren nur den Exponenten, damit mit wir die Potenzgesetze anwenden
können. Für den Nenner sollte es klar sein, beim Zähler weil wenn wir den Logarithmus
der e-Funktion nutzen, erhalten wir x.

@Hansi

Ich schrieb dir oben bereits das beide Funktionen nicht denselben Grenzwert haben.
Desweiteren erläuterte ich dir das ich das Logairthmieren nur nutzte damit wir uns
den Exponenten genauer anschauen, was wächst schneller. Wir fanden heraus das
die e-Funktion schneller wächst. Das heißt negativer Exponent und was das heißt
das kannst du dir sicherlich denkne.

Mit der Regel von L'Hospital kann ich dir ganz schnell zeigen das der Grenzwert Null
ist.

29.12.2010, 22:11

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von baphomet
Wir substituieren nur den Exponenten, damit mit wir die Potenzgesetze anwenden
können. Für den Nenner sollte es klar sein, beim Zähler weil wenn wir den Logarithmus
der e-Funktion nutzen, erhalten wir x.

Die Potenzgesetze sind hier auch ohne irgendwelche Substitutionen anwendbar.
Der vorliegende Ausdruck ist außerdem nicht so kompliziert, dass es hier einer Substitution bedarf.

Zitat:

Original von baphomet
@Hansi

Ich schrieb dir oben bereits das beide Funktionen nicht denselben Grenzwert haben.
Desweiteren erläuterte ich dir das ich das Logairthmieren nur nutzte damit wir uns
den Exponenten genauer anschauen, was wächst schneller. Wir fanden heraus das
die e-Funktion schneller wächst. Das heißt negativer Exponent und was das heißt
das kannst du dir sicherlich denkne.

Das ganze Gerede von schnellem oder langsamen Wachsen dient höchstens der Anschauung - ist aber formal ohne weiteres nicht zu gebrauchen. Zudem ist mir schleierhaft was der Logarithmus bei dem Geschäft hier verloren hat...?

Das Wissen um Stetigkeit, Asymptotik und Reihenentwicklung der e-Funktion reichen hier vollkommen.

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