Gruppenoperation

29.12.2010, 13:07

Gast11022013

Gruppenoperation

Meine Frage:
Es sei G eine endliche Gruppe, |G|>1, und H eine echte Untergruppe von G. Dann operiert G auf der Menge der Linksnebenklassen G/H durch Linksmultiplikation.

a) Formulieren Sie diese Gruppenoperation als Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi: G\to S(G/H) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} S(G/H) \end{eqnarray*}$ die symmetrische Gruppe auf G/H bezeichnet.

Ich komme nicht so gut mit dieser Aufgabe zurecht.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} g\mapsto \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eine Permutation, die die Linksnebenklassen in G/H vertauscht.

Wer kann mir eine Idee geben?

29.12.2010, 13:30

Gast11022013

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Vielleicht nochmal ein Vorschlag von mir selbst:

Die Gruppenoperation ist ja gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} (g,g^{*}H)\mapsto gg^{*}H, g\in G, g^{*}H\in G/H \end{eqnarray*}$ .

[Richtig?]

Und kann man jetzt nicht einfach definieren:

$\begin{eqnarray*} g\mapsto \pi(gH)=gg^{*}H, \pi\in S(G/H) \end{eqnarray*}$ ?

Aber ich weiß nicht, ob jetzt die Homomorphieeigenschaft gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi(gh)=\pi(ghH)=ghg^{*}H \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \Phi(g)*\Phi(h)=??? \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 13:39

Elvis

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Zitat:

Original von Dennis2010

Und kann man jetzt nicht einfach definieren:

$\begin{eqnarray*} g\mapsto \pi(gH)=gg^{*}H, \pi\in S(G/H) \end{eqnarray*}$ ?

Besser : $\begin{eqnarray*} \Phi: G\to S(G/H), g\mapsto \pi_g(g^*H)=gg^{*}H \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dennis2010

Aber ich weiß nicht, ob jetzt die Homomorphieeigenshaft erfüllt ist...

Vorschlag: Nachrechnen.

29.12.2010, 13:49

Gast11022013

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Zitat:

Besser : $\begin{eqnarray*} \Phi: G\to S(G/H), g\mapsto \pi_g(g^*H)=gg^{*}H \end{eqnarray*}$

Okay, teste ich also hiermit mal aus, ob gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Phi(gh)=\pi_{gh}(g^{*}H)=ghg^{*}H \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Phi(g)\Phi(h)=\pi_{g}(g^{*}H)\circ \pi_{h}(g^{*}H)=gg^{*}Hhg^{*}H \end{eqnarray*}$

Das scheint aber nicht gleich zu sein. unglücklich

Habe ich nur falsch berechnet oder ist die ganze Idee einfach falsch?

Ist $\begin{eqnarray*} \pi_{g}(g^{*}H)\circ \pi_{h}(g^{*}H) \end{eqnarray*}$ vielleicht gleich $\begin{eqnarray*} \pi_{gh}(g^{*}H) \end{eqnarray*}$ ??

29.12.2010, 14:05

Elvis

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Könnte an deiner etwas laxen Schreibweise liegen. Was passiert, wenn du dir diese Permutationen der Faktorgruppen genauer betrachtest ? Es geht um Abbildungen, es geht nicht um Nebenklassen.

29.12.2010, 14:07

Gast11022013

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Tut mir leid, ich verstehe nicht, worauf Du hinaus möchtest.

Kannst Du einen Tipp geben?

29.12.2010, 14:10

Gast11022013

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Achso! Es wird von links multipliziert> Gruppenoperation!

Aber was bringt das mir jetzt? Hammer

29.12.2010, 14:12

Elvis

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Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg. Wenn du die Nebenklassen durch Linksmultiplikation mit h permutierst und dann durch Linksmultiplikation mit g permutierst bekommst du auf jeden Fall eine Permutation: Phi ist wohldefiniert. Und wenn du die Abbildungen pi genau berechnest, siehst du, dass sie gleich sind. In Worten: Permutieren mit h und dann permutieren mit g ergibt permutieren mit gh.

29.12.2010, 14:18

Gast11022013

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Das bedeutet also tatsächlich:

$\begin{eqnarray*} \pi_{g}(g^{*}H)\circ \pi_{h}(g^{*}H)=\pi_{gh}(g^{*}H) \end{eqnarray*}$ und somit gilt dann die Homomorphieeigenschaft.

Korrekt?

[Mein Fehler war also, dass ich ich nicht mehr an die Gruppenoperation gedacht habe.]

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