Gruppenoperation

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenoperation
Meine Frage:
Es sei G eine endliche Gruppe, |G|>1, und H eine echte Untergruppe von G. Dann operiert G auf der Menge der Linksnebenklassen G/H durch Linksmultiplikation.

a) Formulieren Sie diese Gruppenoperation als Homomorphismus , wobei die symmetrische Gruppe auf G/H bezeichnet.


Ich komme nicht so gut mit dieser Aufgabe zurecht.

Meine Ideen:
und ist eine Permutation, die die Linksnebenklassen in G/H vertauscht.


Wer kann mir eine Idee geben?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht nochmal ein Vorschlag von mir selbst:

Die Gruppenoperation ist ja gegeben durch:

.

[Richtig?]


Und kann man jetzt nicht einfach definieren:

?


Aber ich weiß nicht, ob jetzt die Homomorphieeigenschaft gilt:

und

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

Und kann man jetzt nicht einfach definieren:

?


Besser :



Zitat:
Original von Dennis2010

Aber ich weiß nicht, ob jetzt die Homomorphieeigenshaft erfüllt ist...


Vorschlag: Nachrechnen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Besser :


Okay, teste ich also hiermit mal aus, ob gilt:

.


.




Das scheint aber nicht gleich zu sein. unglücklich
Habe ich nur falsch berechnet oder ist die ganze Idee einfach falsch?


Ist vielleicht gleich ??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte an deiner etwas laxen Schreibweise liegen. Was passiert, wenn du dir diese Permutationen der Faktorgruppen genauer betrachtest ? Es geht um Abbildungen, es geht nicht um Nebenklassen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich verstehe nicht, worauf Du hinaus möchtest.

Kannst Du einen Tipp geben?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Es wird von links multipliziert> Gruppenoperation!

Aber was bringt das mir jetzt? Hammer
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg. Wenn du die Nebenklassen durch Linksmultiplikation mit h permutierst und dann durch Linksmultiplikation mit g permutierst bekommst du auf jeden Fall eine Permutation: Phi ist wohldefiniert. Und wenn du die Abbildungen pi genau berechnest, siehst du, dass sie gleich sind. In Worten: Permutieren mit h und dann permutieren mit g ergibt permutieren mit gh.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet also tatsächlich:

und somit gilt dann die Homomorphieeigenschaft.


Korrekt?

[Mein Fehler war also, dass ich ich nicht mehr an die Gruppenoperation gedacht habe.]
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