Untergruppen von (Z10,+) |
| 29.12.2010, 14:36 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Untergruppen von (Z10,+) Also bisher habe ich Die Untergruppen von (Z10,+) soweit herausgefunden: Die trivialen Untergruppen (Z10,+) und das neutr. Element Z={e}, dann die Untergruppen (Z9,+) bis (Z1,+). Stimmt das soweit? Naja und dann soll ich zeigen welche dieser Untergruppen zyklisch ist. Was eine zyklische Gruppe ist weiß ich bereits. Doch weiß ich nicht ob ich nun bei jeder Untergruppe einzeln durchrechnen muss oder ob es eine Formel oder so etwas gibt um es einfacher herauszufinden, da mir das durchrechnen doch sehr Zeitaufwändig erscheint. ICh danke schonmal im Vorraus für eure Antworten =) lg |
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| 29.12.2010, 15:00 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Untergruppen von (Z10,+)
Kann das denn sein? Denke mal an den Satz von Lagrange. |
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| 29.12.2010, 15:09 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Satz von Lagrange sagt doch nur das wenn (G,o,e) eine endliche Gruppe ist und (H,o,e) eine Untergruppe von G ist, dann ist lGl / lHl genau die Anzahl der Nebenklassen von H. ICh verstehe gerade nicht inwiefern mir das weiterhelfen kann. 
Hoffe du kannst mir das erklären =) |
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| 29.12.2010, 15:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nunja das sagt dir doch schonmal wie viele Elemente eine Untergruppe haben kann. Nämlich? |
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| 29.12.2010, 15:17 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch nur endlich viele. Wenn eine Gruppe endlich viele Elemente hat, können dessen Untergruppen auch nur endlich viele haben. |
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| 29.12.2010, 15:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieviele Elemente hat denn ? |
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| 29.12.2010, 15:26 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
10, von der 0 bis zur 9 oder? |
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| 29.12.2010, 15:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Kommst also z.b. als Untergruppe in Frage? |
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| 29.12.2010, 17:17 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja würd ich schon sagen =) Aber ich weiß grad nicht wie mich das auf zyklisch oder nicht zyklisch bringen soll... |
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| 29.12.2010, 17:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hast du den Satz von Lagrange nicht verstanden. Es ist doch die Anzahl der Nebenklassen, insbesondere ist also ein Teiler von . Damit scheidet doch sowas von aus. |
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| 29.12.2010, 17:28 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also das versteh ich wirklich nicht... H ist doch eine Untergruppe von G, ich weiß doch aber erstmal gar nicht wieviele Elemente H hat. in meinem Fall hat Z 10 Elemente. aber Z hat ja mehrere untergruppen. Woher kann ich nun wissen welche davon ich nehmen muss, wieviele Elemente sie hat und was ich mit den Nebenklassen anfangen kann |
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| 29.12.2010, 17:31 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kennst also folgende Formulierung des Satzes von Lagrange:
, aber die simple Tatsache, dass die Anzahl der Elemente einer Untergruppe die Anzahl der Elemente der Gruppe teilt, ist dir unbekannt, bzw. hast du nicht verstanden?
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| 29.12.2010, 17:33 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja doch, das is an sich ja auch irgendwie logisch. klar, dann kann Z10 / Z4 nicht hinkommen stimmt =) Also sind die Untergruppen von Z10 : Z10,Z5,Z2 und Z={e} ? |
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| 29.12.2010, 17:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig. Dass die einzige Untergruppe mit 2 Elementen ist, ist ja eigentlich sofort klar, es gibt schließlich nur eine Gruppe mit 2 Elementen. Oder sollst du wirklich alle elementweise angeben, also Isomorphie außer Acht lassen? Es bliebt noch zu begründen, dass die einzige Untergruppe mit 5 Elementen ist. |
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| 29.12.2010, 17:41 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also von isomorphie was in der aufgabe keine rede. Ich danke dir auf jeden fall schonmal bis hierher =) Und nun müsste ich theoretisch jede einzelne untergruppe einzeln durchrechnen oder ginge das auch schneller? Ich verstehe gerade nicht recht wieso ich begründen muss das Z5 die einzige untergruppe mit 5 Elementen ist. Ist das nicht logisch? Z10 hat 10 Elemente (0...9), Z5 hat 5 Elemente (0...4), Z2 (0...1) Z={e} die 0. |
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| 29.12.2010, 17:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie sieht in diesem Fall die Untergruppe Z5 von Z10 aus? Also schreibe mal alle Elemente dieser Untergruppe hin. |
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| 02.01.2011, 12:31 | Ionel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja bei Z5 würde ich sagen das die Elemente 0,1,2,3,4 dazugehören, oder etwa nicht? Und bei Z10 die Elemente 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
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