Kurvenschar

29.12.2010, 16:54	tudels	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenschar Meine Frage: Hallo liebes Matheforum, da ich meine Frage nicht selber beantworten konnte und auch keine weiteren Hinweise dazu gefunden habe, dachte ich mir, dass ich euch einfaach damit belästige. Die folgende Aufgabe ist aus einem Mathebuch: Gegeben sei die Kurvenschar: $\begin{eqnarray} fa(x)= x^{2}- 2ax+ 1 (a\in \mathbb R ,a\geq 0) \end{eqnarray}$ a) Führen Sie eine Kurvendiskussion von $\begin{eqnarray} fa \end{eqnarray}$ durch. b) Skizzieren Sie die Graphen für a=0,5, a=1,0 und a=1,5. c) Welche Kurve der Schar $\begin{eqnarray} fa \end{eqnarray}$ hat an der Stelle x=4 die Steigung 1? d) Welche Kurven der Schar $\begin{eqnarray} fa \end{eqnarray}$ haben keine Nullstellen bzw. genau eine Nullstelle? Meine Ideen: Zu a): Als erstes die Ableitungen bilden: $\begin{eqnarray} f'a(x)= 2x- 2a <br /> f''a(x)= 2 \end{eqnarray}$ Da ich so etwas noch nie mit einer Kurvenschar gerechnet habe und auch bei keinem Lehrer mehr nach fragen kann, bin ich bei der Nullstellenberechnung schon gescheitert. $\begin{eqnarray} fa(x)= x^{2}- 2ax+ 1 \end{eqnarray}$ X aus zu klammern hat für mich keinen Sinn ergeben, da dann das hier rausgekommen wäre $\begin{eqnarray} fa(x)= x(x- 2a+ \frac{1}{x} ) \end{eqnarray}$ und die muss man mit einbeziehen oder nicht? Habe ich da einen Denkfehler? Und bei der pq-Formel würde dann das hier rauskommen: $\begin{eqnarray} x1/2= a\pm \sqrt{a^{2}- 1 } \end{eqnarray}$ und da komme ich dann auch nicht weiter. Muss ich für a einfach immer etwas einsetzen oder geht das auch schneller und besser? Naja b) ist ja einfach c) da würde ich sagen, dass einfach nur in die erste Ableitung x=4 gesetzt wird und a dementsprechend dann angepasst werden muss. Ich denke, dass a=2 sein müsste, dann würden sich $\begin{eqnarray} x^{2} - 2ax \end{eqnarray}$ wegkürzen und 1 bleibt übrig. Und zu d) kann ich nichts sagen, da ich es nicht geschaft habe, die Nullstellen auszurechnen. Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
29.12.2010, 17:09	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Nun, deine Nullstellen bei a) stimmen. Weiter rechnet man da nicht. Bei c) nennst du zwar das richtge Vorgehen, aber du scheinst den x-Wert in die Funktionsvorschrift eingesetzt zu haben. In der Ableitung kommt ja gar kein Quadrat mehr vor.
29.12.2010, 17:33	tudels	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die rasche Antwort. Oh stimmt, bei c) habe ich wohl nicht die Ableitung benutzt.^^ Wäre das dann richtig? $\begin{eqnarray} f'a(4)=2\times 4- 2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=8-2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -7=-2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3,5=a \end{eqnarray}$ Kann mir dann jemand noch bei d) helfen?
29.12.2010, 17:38	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
3,5 stimmt. Für die d) musst du dir die Frage stellen, wann du keine Nullstelle erhälst: Negative Werte unter dem Wurzelzeichen dürfen nicht vorkommen. Für eine einzelne Nullstelle muss hinter dem $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ eine Null stehen. Setze also den Term unter der Wurzel einmal kleiner als Null und danach gleich Null.
29.12.2010, 19:58	tudels	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, du hast mir sehr weitergeholfen.

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