Komplexe Analysis (Residuen bestimmen)

29.12.2010, 17:12

FreddyC

Komplexe Analysis (Residuen bestimmen)

Hey Leute,
ohne große Worte zu verlieren, es geht um folgende Aufgabe:

Gesucht ist zunächst das Residuum folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=z \cdot e^{\frac{1}{1-z}} \end{eqnarray*}$

Der Exponent sieht zwar nach geometrischer Reihe aus, macht die Sache aber nicht wirklich schöner ...

Hab' die e-Fkt. mal in Reihe dargestellt und folgenden Ausdruck erhalten:
$\begin{eqnarray*} f(x)=z \cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}) \end{eqnarray*}$

Ohne den Faktor z vor der Summe wäre mein Residuum ja einfach 1 ...
Doch irgendwie macht mir das z ein wenig Probleme ...

Weiß jemand Rat?
THX
Fred

29.12.2010, 17:24

Leopold

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An welcher Stelle soll denn das Residuum berechnet werden? Das hättest du ruhig dazusagen können. Von deinem Ansatz her vermute ich, daß es um $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ geht. Beachte: $\begin{eqnarray*} z = 1 + (z-1) \end{eqnarray*}$ .

29.12.2010, 17:54

FreddyC

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Ah, sry, ja, es geht um das Residuum in der Singularität ...

Mit deinem Ansatz komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=z \cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}) = (1-(1-z)) \cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}) = (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k})<br /> - (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k+1}) \end{eqnarray*}$

Für das Residuum an der Stelle 1 erhalte ich jetzt:
$\begin{eqnarray*} a_{-1}=1-1/2=1/2 \end{eqnarray*}$

Richtig?

29.12.2010, 20:32

Leopold

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Du mußt den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} (z-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen, nicht den von $\begin{eqnarray*} (1-z)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das Residuum ist also $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

30.12.2010, 15:23

FreddyC

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ah, ich glaub' ich hab's verstanden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=z \cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}) = (1+(z-1)) \cdot (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}) = (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k})<br /> + (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot(1-z)^{-k}\cdot (z-1)) \end{eqnarray*}$

betrachtet man nun die Partialsummen bzgl. dem Koeffizient a_(-1):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}\cdot (1-z)^{-1}+\frac{1}{2!}\cdot (1-z)^{-2}\cdot(z-1) \end{eqnarray*}$

so erhält man durch kleine Umformung:

$\begin{eqnarray*} -1\cdot (z-1)^{-1}+\frac{1}{2}\cdot (z-1)^{-1} \end{eqnarray*}$

schließlich für das Residuum an der Stelle 1:

$\begin{eqnarray*} a_{-1}=-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

alles mathematisch korrekt?

30.12.2010, 16:02

Leopold

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Zitat:

Original von FreddyC
$\begin{eqnarray*} a_{-1}=-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

alles mathematisch korrekt?

30.12.2010, 16:20

FreddyC

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Kein Kommentar ^^"
Der Rest stimmt dann aber? xD
Vielen Dank für deine Hilfe.

Vielleich noch eine kleine Frage, hab' schon im Buch und in meinem Skript geblättert, aber keine Antwort finden können:

Wenn ich jetzt über |z|= 1 integrieren möchte, liegt meine Singularität ja auf dem Integrationsweg, wird also nicht umlaufen ... kann ich dann überhaupt irgendeine Aussage treffen, oder muss ich tiefer in die Komplexe Analysis - Trickkiste greifen?

Ist bei der Funktion f die Stelle 1 überhaupt eine richtige Singularität, da sich das ganze ja im Exponenten der e-Fkt. abspielt? Sprich, möchte ich das Integral z.B. über |z|=1/2 integrieren, erhalte ich als Ergebnis 0, analog über |z| = 2 als Ergebnis - pi * i

THX
Fred

30.12.2010, 16:40

Leopold

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Über einen Weg, der eine Singularität enthält, darf man nicht integrieren.
Der Rest stimmt.

30.12.2010, 16:55

FreddyC

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Ok, super, nochmals vielen Dank!

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