Nachweis

29.12.2010, 17:52

mamarkusma

Nachweis

$\begin{eqnarray*} $F(x;a)=\begin{cases} 0 & x<0\\ (\frac{x}{a})^{3} & x\epsilon[0;a]\\ 1 & x>a\end{cases}$ \end{eqnarray*}$

a sei > 0 und unbekannt.

Aufg: Weisen Sie nach: Für jedes a > 0 ist p(*;a) definiert durch

$\begin{eqnarray*} p(x,a) = 3x^2/a^3 x\epsilon[0;a], sonst 0 \end{eqnarray*}$

eine WS-Dichte zur Verteilungsfkt F(*;a)

Meine Idee:
Das Integral über die Dichte bildte und testen, ob man auf die identische VF kommt.
$\begin{eqnarray*} F = integral(pdx,-inf,inf) = (x/a)^3 \end{eqnarray*}$

Reicht das aus?

29.12.2010, 18:00

tmo

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Generell ist das richtig. Du musst die Idendität

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x p(t,a)dt = F(x,a) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

nachweisen.

Du könntest dazu eine Fallunterscheidung für x machen.

29.12.2010, 18:06

mamarkusma

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Ist nicht sowieso nur der Bereich für x € [0,a] interessant?

29.12.2010, 18:10

Math1986

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Zitat:

Original von mamarkusma
Ist nicht sowieso nur der Bereich für x € [0,a] interessant?

Genau DAS ist ja eine Fallunterscheidung smile

(wobei die anderen Fälle natürlich auch begründet werden müssen)

29.12.2010, 18:14

mamarkusma

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Also wäre eine Antwort der folgenden Art ausreichend:

Die Verteilungsfunktion beschreibt die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten der Dichte.
Da die Dichte nur im Bereich [0,a] p(x,a) > 0 ist, reicht es über diesen Bereich zu integrieren.
[Dann die obige Berechnung; das Ergebnis ist - oh Wunder - gleich der VF].

29.12.2010, 18:17

mamarkusma

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Wenn ich nun den Erwartungswert und die Varianz über diese VF berechnen soll, mach ich das doch analag wieder im selben Bereich.

X sei F(x,a)
$\begin{eqnarray*} E(X) = integral( (x^3/a^3) * x dx, 0, a ) = (a^2)/5 \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 18:25

Math1986

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Zitat:

Original von mamarkusma
Also wäre eine Antwort der folgenden Art ausreichend:

Die Verteilungsfunktion beschreibt die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten der Dichte.
Da die Dichte nur im Bereich [0,a] p(x,a) > 0 ist, reicht es über diesen Bereich zu integrieren.
[Dann die obige Berechnung; das Ergebnis ist - oh Wunder - gleich der VF].

"aufsummieren" ist falsch, wir integrieren, das ist ein Unterschied!
Und das musst du natürlich auch nachrechnen!

Was ist für $\begin{eqnarray*} x\not\in [0,a] \end{eqnarray*}$ , welche Werte hat die Verteilungsfunktion und das Integral dort?

Zitat:

Original von mamarkusma
Wenn ich nun den Erwartungswert und die Varianz über diese VF berechnen soll, mach ich das doch analag wieder im selben Bereich.

X sei F(x,a)
$\begin{eqnarray*} E(X) = integral( (x^3/a^3) * x dx, 0, a ) = (a^2)/5 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

29.12.2010, 18:52

mamarkusma

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Danke

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