Lösen einer bernoullischen Dgl

29.12.2010, 17:59	Krümel1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer bernoullischen Dgl Meine Frage: Hallo an alle.... Ich hätte da mal eine Frage bezüglich einer Differentialgleichung, die mittels "Bernoulli" zu lösen ist: 2y - 3y' = y^4 * e^(3x) Ich bin ziemlich ratlos mittlerweile, was genau ich damit anstellen soll. In der Uni haben wir das ganze nur hopplahoppla durchgesprochen....Ich habe mal angefangen, und nach einer Formel, die ich in der Formelsammlung gefunden habe versucht das ganze zu lösen: Da steht was von Substitution: u=y^(1-n) und dann wäre die neue DGL: u' + (1-n) * g(x) * u = (1-n) * h(x) Somit wäre ja hierbei: g(x)=(-2/3) ; h(x)=-(e^3x/3) und n=4 Meine Ideen: So...also habe ich angefangen, habe substituiert was das Zeug hält: u=y^(1-n) --> u = y^(-3) und dieses dann in die laut Formelsammlung "angeblich neue DGL" eingesetzt: u' + 2u = e^(3x) hatte ich dann am Schluss nach dem auflösen raus. Soweit so gut...falls das überhaupt bis hier in stimmen sollte...Dann habe ich die Variablen der dazugehörigen homogenen Gleichung getrennt: u' + 2u = 0 --> du/u = -2dx Und anschließend Integriert, sodass am Schluss für u = e^(-2x)C rauskam. Dann das ganze mittels Variation der Konstanten "umgebaut" in: u = K(x) e^(-2x) und zugehörig: u' = K'(x)e^(-2x) + K(x)(-2e^(-2x)) Dann habe ich das ganze in die Inhomogene Gleichung "zurück-eingesetzt", wäre dann also meiner ansicht nach: K'(x)e^(-2x)-K(x)2e^(-2x)+2K(x)e^(-2x) = e^(3x) (stöhn) Wie schön, dass die beiden K(x)-Terme sich rauskürzen, also 0 werden. Dann steht da bei mir also: K'(x) = e^(5x) Wenn ich das jetzt wieder Integriere erhalte ich schlussendlich u= (e^3x/5) + C (mit C als Integrationskonstante) Und falls das bis hierhin wirklich so alles stimmen sollte verlässt mich jetzt bei der Rücksubstitution mein Latein....Ich habe keine Ahnung wie ich jetzt weitermachen soll :-( Kann mir irgendjemand bitte bitte helfen??? Danke :-) LG Krümel
29.12.2010, 20:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} K' = K'(x) = \operatorname{e}^{5x} \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} K = c + \frac{1}{5} \, \operatorname{e}^{5x} \end{eqnarray}$ mit einer Konstanten $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Daraus bekommt man $\begin{eqnarray} u = K \cdot \operatorname{e}^{-2x} = \frac{1}{5} \, \operatorname{e}^{3x} + c \operatorname{e}^{-2x} \end{eqnarray}$ Und den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ hast du ja auch: $\begin{eqnarray} u = y^{-3} \ \ \Leftrightarrow \ \ y = u^{- \frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Einsetzen - und das war's.
29.12.2010, 21:38	Krümel1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ja soweit hab ichs kapiert.....Danke erstmal... Mein Hauptproblem liegt jetzt in der Lösung, die uns unsere Professorin gegeben hat: y^3 = (5e^2x)/(e^5x + C) Wenn ich meine Lösung jetzt einsetze, also dann hätte: y = (1/5e^5x + C e^(-2x))^(1/3) Wie kommt unsere Professorin 1. auf y^3 und wie auf den Rest der Lösung....Oder stimmt die Lösung - mal wieder - nicht? Ich verzweifel bald....wir haben noch so eine Aufgabe bekommen. Ähnliche Probleme damit....Ich scheitere an der Rücksubstituierung... Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »