Vereinigungsaxiom natürliche Zahlen

29.12.2010, 18:55

Wombat91

Vereinigungsaxiom natürliche Zahlen

Mit dem Vereinigungsaxiom lassen sich die natürlichen Zahlen als Mengen darstellen, wobei $\begin{eqnarray*} 0:=\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s(n)=n+1:=n \cup \{n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(0)=0+1=\emptyset \cup \{\emptyset\}=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(1)=1+1=\{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\} \end{eqnarray*}$
...
Wieso gilt $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\} \end{eqnarray*}$ ? oder $\begin{eqnarray*} \emptyset \cup \{\emptyset\}=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$

Man kann ja $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} \end{eqnarray*}$ auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \bigcup \{\{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\} \end{eqnarray*}$ . Hilft das irgendwie weiter??
Wäre froh um eure Hilfe!!!
Vielen Dank!!

29.12.2010, 19:02

Math1986

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RE: Vereinigungsaxiom natürliche Zahlen

Zitat:

Original von Wombat91
Wieso gilt $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\} \end{eqnarray*}$ ?

Weil du die Elemente der Mengen zu einer neuen Menge vereinigst.
$\begin{eqnarray*} \emptyset\in\left\{\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{\emptyset\right\}\in\left\{\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Wombat91
oder $\begin{eqnarray*} \emptyset \cup \{\emptyset\}=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$

Weil jede beliebige Menge, vereinigt mit der leeren Menge, wieder die ursprüngliche Menge ergibt.
Es kommen ja durch die leere Menge keine neuen Elemente hinzu

29.12.2010, 19:09

Wombat91

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RE: Vereinigungsaxiom natürliche Zahlen
Ach so, ja klar!! Manchmal denkt man einfach zu weit!! Vielen Dank!! smile

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