Induktion

29.12.2010, 20:53

Benchy

Induktion

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aussage soll man beweißen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{k!}\forall k \in \mathbb N \wedge \forall n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Ist mein Lösungsweg korrekt und nachvollziehbar?

Meine Ideen:
Mit Induktion zeigen.

1. Induktionanfang n=1 einsetzen und umformen...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!(1-k)!}\leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-k)! \end{eqnarray*}$ kann nie im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ liegen.(sieht man sofort)

Somit ist IA wahr.

2. Induktionsschritt: n--> n+1 setzen und umformen...

am Ende bekommt man sowas:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!(n-k)(n+1)^{k-1}} \end{eqnarray*}$

IV nutzen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (n-k)(n+1)^{k-1} \end{eqnarray*}$ nie im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ liegen kann. (auch das sieht man sofort)

Somit gilt die Aussage! q.e.d.

29.12.2010, 21:02

Manni Feinbein

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RE: Induktion
Induktion ist hier gar nicht nötig.

Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{n^k}{n \choose k}=\frac 1{k!}\underbrace{\prod_{j=1}^k\frac{n-k+j}n}_{\leq 1}. \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 21:25

Math1986

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Noch einfacher:
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\underbrace{\frac{n!}{(n-k)!\cdot n^k}}_{\leq 1} \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 21:38

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Math1986
Noch einfacher:
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\underbrace{\frac{n!}{(n-k)!\cdot n^k}}_{\leq 1} \end{eqnarray*}$

Einfacher als was?

29.12.2010, 23:07

Benchy

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Danke genial =)

30.12.2010, 03:03

Benchy

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Noch ne Aufgabe:

Beweise folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n\leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} <3 \end{eqnarray*}$

Kann man das mit Hilfe von Grenzwerten für Folgen und Reihen begründen.

Also zum Beispiel: e<=e<3 somit gilt die Aussage.

Bin mir nicht sicher, da es zu einfach wäre=)

30.12.2010, 05:51

Zellerli

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Bitte für jede Aufgabe eigens die Boardsuche bemühen und einen eigenen Thread eröffnen.

Mit dem Grenzwert hat das nichts zu tun, du sollst es für alle n zeigen.
Die erste Ungleichung geht mit Umformungen und Gleichheiten ähnlich deiner ersten Aufgabe nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes.

Aber wie gesagt: Ab in einen neuen Thread damit.

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