berechnung von argument und betrag komplexer zahlen in potenz

29.12.2010, 23:09	kurzefrage	Auf diesen Beitrag antworten »
berechnung von argument und betrag komplexer zahlen in potenz Meine Frage: Gegeben ist folgende komplexe Zahl: $\begin{eqnarray} v^{4} = 81i \end{eqnarray}$ Ich soll nun alle Lösungen für v berechnen. Jedoch werde ich einfach nicht schlau aus den hunderten von Lösungswegen, die wir in der Übung gemacht haben bzw. die ich im Internet finde. Folgendes habe ich gemacht: Meine Ideen: Zunächst berechnete ich den Betrag der komplexen Zahl $\begin{eqnarray} v^4 \end{eqnarray}$ . Dieser ist ziemlich schnell berechnet und beträgt $\begin{eqnarray} \sqrt{81^{2} } = 81.<br /> <br /> Arg(v^{4}) = \frac{\pi}{2}. \end{eqnarray}$ (aus der Geometrie) Nun zum ersten Problem. Der Betrag 81 gilt doch eigentlich nur für die "vierte" komplexe Zahl, die diese Gleichung erfüllt, oder? Die "erste" Potenz der Zahl v müsste den Betrag 4. Wurzel aus 81, also 3 haben. Wie berechne ich die drei fehlenden Zahlen v^1, v^2, v^3? Mir ist klar, wo die anderen Zahlen liegen müssen, komplexe Zahlen ergeben jeweils regelmäßige n-Ecke, wenn ich das richtig in Erinnerung habe, dh. in diesem Fall müsste eine weitere Zahl -81i sein und jeweils 81 und -81 auf der reellen Achse. Nur wie kommt man darauf? Egal wie ich die vielen Formeln drehe und wende, am Ende kommt bei mir nur Unsinn raus.
30.12.2010, 00:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle vier Lösungen dieser komplexen Gleichung 4. Grades müssen den Betrag 3 haben. Allein schon deshalb stimmen -81i, 81 und -81 auf keinen Fall. Du hast auch einen zweiten fatalen Fehler gemacht. Das Argument der ersten komplexen Lösung muss ein Viertel des Argumentes der gegebenen Zahl 81i sein. Davon ausgehend gruppieren sich die weiteren Lösungen auf dem Kreis mit dem Radius 3, indem zu diesem Argument Vielfache von $\begin{eqnarray} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ addiert werden. mY+
30.12.2010, 00:53	kurzefrage	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo mYthos, das verwirrt mich schon die ganze Zeit! Die Zahl v^4 lautet 81i, deren Betrag ist 81, die vierte Wurzel daraus aber erst die 3, die für alle vier Zahlen v0, v1, v2 und v3 den Betrag darstellen soll. Muss ich immer die n-te Wurzel ziehen wenn ich die n--te Potenz einer komplexen Zahl da stehen habe? Wie gehe ich nun weiter vor? v0 = 3^1 * (cos 1(pi/8) + i sin 1(pi/8)) v1 = 3^2 * (cos 2(pi/8) + i sin 2(pi/8)) usw... oder v0,1,2,3 = 3*(cos((pi/8) + 2 k pi) + i sin((pi/8) + 2 k pi)) Es will mir einfach nicht gelingen, ich bin mir sicher, dass ich irgendwo einen ganz kleinen Denkfehler drin habe...
30.12.2010, 01:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Betrag muss man immer die n-te Wurzel ziehen, ja. --------- v0 stimmt schon mal. Aber die anderen wieder nicht. Es steht doch bei mir schon dort, dass - ausgehend von pi/8 immer um pi/2 weitergegangen werden muss, bis sich nach 4 verschiedenen Lösungen als vermeintlich fünfte wieder die erste ergibt. Und was sollen die Potenzen 3^1, 3^2, usw.? Das ist ebenso ein Fehler. Es ist ganz einfach: Der Betrag aller Lösungen bleibt immer 3. mY+
30.12.2010, 02:42	kurzefrage	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube, das Rätsel hat sich gelöst. da v^3 ja eine völlig anderes Bild geben würde (ein gleichseitiges Dreieck) ergeben sich auch völlig falsche Zahlen. Dachte immer wenn ich v2 ausrechnen will rechne ich v^2 aus - ist aber ne ganz andere Darstellung, wie ich gerade durch eine Erleuchtung durch den mYthos erfahren habe. Vielen Dank, das werde ich morgen mit klarem Kopf nochmal ausprobieren!
30.12.2010, 11:53	kurzefrage	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich habe nun folgendermaßen gerechnet: v0 = 3(cos (pi/8) + isin (pi/8)) = 2,7716 + 1,1481i v1 = 3(cos [(pi/8) + pi/2] + isin [(pi/8) + pi/2]) = -1,1481 + 2,7716i v2 = 3(cos [(pi/8) + pi] + isin [(pi/8) + pi]) = -2,7716 -1,4481i v3 = 3(cos [(pi/8) + 3/2 pi] + isin [(pi/8) + 3/2 pi]) = 1,1481i -2,7716i Der Betrag dieser Zahlen ist (wenn man nicht rundet, wie ich es hier getan habe) jeweils 3. Muss die Zahl 81i gar nicht in meinen Lösungen vorkommen? Sind meine Rechnungen nun richtig?
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30.12.2010, 15:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungen stimmen so weit (die numerischen Resultate habe ich jetzt nicht überprüft). Ich weiss nun nicht, wass du immer mit 81i machen willst, das stand doch nur in der Angabe. Die Lösungen leiten sich davon zwar ab, aber keine ist 81i selbst. Weshalb auch? Denkst du, dass das so sein müsste? mY+
30.12.2010, 17:49	kurzefrage	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dachte ich, das war wohl mein "kleiner" Denkfehler.

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