Endliche Gruppen haben Fixpunkt

30.12.2010, 10:13

mathinitus

Endliche Gruppen haben Fixpunkt

Hallo Leute.

Ich versuche gerade folgendes zu beweisen, aber irgendwie gelingt es mir noch nicht so richtig. Sei G eine Gruppe von Abbildungen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , die Längen erhalten.
Nun will ichbeweisen, dass aus der Endlichkeit von G sofort folgt, dass es mindestens einen Punkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gibt, der unter jeder Abbildung von G fix gelassen wird.

Kleine Beispiel: Die Gruppe mit den Drehungen um 0, 120 und 240 Grad. Diese Gruppe ist endlich (drei Elemente) und Fixpunkt wäre das Zentrum.

Habe schon viel ausprobiert, doch leider ohne Erfolg. Zum Beispiel kann man die Abbildungen alle als Ax+v schreiben, wobei A unitär ist.

Außerdem bekommt man einen Fixpunkt, wenn man sich einen beliebigen Punkt p aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nimmt und den Mittelpunkt der endlich vielen Bilder von p bestimmt. Das habe ich mir anschaulich klar gemacht, doch leider, wie bereits erwähnt, noch nicht bewiesen.

WICHTIGER NACHTRAG: Ich schrieb oben, dass die Abbildungen die Längen erhalten sollte, was ich meinte, war aber, dass der Abstand erhalten bleiben soll. Also d(a,b)=d(f(a),f(b)), wenn f Element der Gruppe ist.

30.12.2010, 13:19

Reksilat

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RE: Endliche Gruppen haben Fixpunkt
Hi mathinitus,

Du bist doch schon auf einem ganz guten Weg:

Zitat:

Außerdem bekommt man einen Fixpunkt, wenn man sich einen beliebigen Punkt p aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nimmt und den Mittelpunkt der endlich vielen Bilder von p bestimmt. Das habe ich mir anschaulich klar gemacht, doch leider, wie bereits erwähnt, noch nicht bewiesen.

Du musst nicht mal unbedingt den Mittelpunkt konstruieren, sondern die Summe reicht.
Verwende dann, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} xG=\{xg|g\in G\}=G \end{eqnarray*}$ ist.
(Also wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ durchwandert, so tut das auch $\begin{eqnarray*} xg \end{eqnarray*}$ für jedes feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ )

Gruß,
Reksilat.

30.12.2010, 13:34

mathinitus

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Die Summe reicht definitiv nicht.

Beispiel: Die Drehungen um 90, 180, 270 und 360 Grad um den Punkt (1,1). Nun wären also (0,0), (0,2), (2,0) und (2,2) die Bilder von (0,0). Die Summe ist (4,4) und der ist nicht fix. Wohl aber ein Viertel, nämlich (1,1).

Also das Problem ist wohl, dass unsere Abbildungen nicht linear sein müssen, sonst wäre es trivial. Das man durch Anwenden eines beliebiges Gruppenelement auf alle anderen wieder die Gruppe erhält, ist auch klar. Aber wie geht's nun weiter?

30.12.2010, 15:07

Reksilat

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Hmm, stimmt natürlich. Wir haben ja affine Abbildungen.
Dann eben doch den Mittelpunkt.

Geben wir dem ganzen doch mal Namen:
$\begin{eqnarray*} G=\{g_1,..,g_n\} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ die affine Abbildung $\begin{eqnarray*} x\to A_ix+v_i \end{eqnarray*}$ .

Nun ist für beliebige $\begin{eqnarray*} i,j\in\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} g_i\circ g_j\in G \end{eqnarray*}$ und somit gibt es einen eindeutigen Index $\begin{eqnarray*} k_{ij}\in\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} g_i\circ g_j=g_{k_{ij}} \end{eqnarray*}$ .
Dann sieht man $\begin{eqnarray*} A_iA_j=A_{k_{ij}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{k_{ij}}=A_iv_j+v_i \end{eqnarray*}$ .

Anschließend kannst Du Dir überlegen, dass für festes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und fortlaufendes $\begin{eqnarray*} j\in\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A_{k_{ij}} \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{k_{ij}} \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ durchlaufen.

Mit diesen Bezeichnungen sollte der Ansatz über den Mittelpunkt funktionieren. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

31.12.2010, 09:41

mathinitus

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Ich danke dir vielmals für deine Mühe. Ich konnte die Sache nun bezwingen.

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