Abschätzung Gammaintegrals

30.12.2010, 10:35

Rone00

Abschätzung Gammaintegrals

Meine Frage:
Hallo,
ich bin gerade mit der Gammafunktion beschäftigt, und bin in Freitags und Busams
Funktionentheorie bei der Integraldarstellung hängen geblieben.

Dort wird das Gammaintegral aufgespalten $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty = \int_0^1 + \int_1^\infty \end{eqnarray*}$ um es abzuschätzen. Der eine Teil ist einfach, aber beim zweiten kann
ich es nicht ganz nachvollziehen.

Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} | t^{z-1}e^{-t} | = t^{x-1}e^{-t} \end{eqnarray*}$
Jetzt kommt der Teil der mir nicht klar ist:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ existiert bekanntlich eine Zahle $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft:

$\begin{eqnarray*} t^{x-1}\leq C e^{t/2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<x\leq x_0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} 1\leq t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$

Daher konvergiert

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! t^{z-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Mein Problem ist die Abschätzung (*), ist die wirklich so trivial, steh ich auf der Leitung? ...wäre nett wenn mir da jemand weiterhilft, lg Rone

30.12.2010, 10:56

Manni Feinbein

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RE: Abschätzung Gammaintegrals
Es soll vermutlich $\begin{eqnarray*} t^{x-1}\leq Ce^{t-2} \end{eqnarray*}$ lauten.

Ist nämlich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben,
dann gibt es ein

$\begin{eqnarray*} C>0,\text{ so dass } t^{x-1}e^{-t}\leq\frac C{t^2}\text{ für alle }t\geq 1. \end{eqnarray*}$

Die Reihendarstellung der e-Funktion offenbart diese Tatsache.

Mit dem Integralvergleichskriterium lässt sich dann die Konvergenzfrage des uneigentlichen Integrals beantworten.

30.12.2010, 13:35

Rone

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also im Buch ist es so drinnen wie ich (oben) geschrieben habe,
ich geh mal davon aus, dass das stimmt, ist ja doch schon die 4. auflage....
danke für deinen tipp und die hilfe, ich würd aber trotzdem gerne
die angeführte ungleichung verinnerlichen (auch weil die abschätzung
des integrals einfacher wird). hat da jemand eine idee??

danke, lg rone

01.01.2011, 16:53

rone00

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sorry, aber kann mir da wirklich niemand weiterhelfen?

01.01.2011, 18:46

Manni Feinbein

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RE: Abschätzung Gammaintegrals

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Es soll vermutlich $\begin{eqnarray*} t^{x-1}\leq Ce^{t-2} \end{eqnarray*}$ lauten.

Sorry, diese Zeile ist Unsinn!

Folgendes passt aber:

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Ist nämlich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben,
dann gibt es ein

$\begin{eqnarray*} C>0,\text{ so dass } t^{x-1}e^{-t}\leq\frac C{t^2}\text{ für alle }t\geq 1. \end{eqnarray*}$

Die Reihendarstellung der e-Funktion offenbart diese Tatsache.

Mit dem Integralvergleichskriterium lässt sich dann die Konvergenzfrage des uneigentlichen Integrals beantworten.

Möchtest Du nun partout auf die von Dir angegebene Abschätzung kommen,
hilft es ebenfalls einfach mal die Reihenentwicklung der e-Funktion zu betrachten:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac t2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!2^n} \end{eqnarray*}$

Ein einziger Summand dieser Reihe (mit geeignetem Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) genügt doch schon,
um die Abschätzung zu beweisen.

03.01.2011, 12:56

Rone00

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danke

07.01.2011, 11:24

Rone00

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ich häng leider nochmal bei dem thema.

und zwar hab ich jetzt schon gezeigt, dass folgendes Integral existiert: (Gammaintegral)

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! t^{z-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$

Das hab ich mit der Aufspaltung des Integrals in die Intervalle [0,1] und [1,infinity] gemacht. Hab gezeigt, dass:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t^{z-1} e^{-t} \, dt \leq \int_0^1 \! t^{x-1} \, dt \end{eqnarray*}$

dies exisitert, da x>0 und folgendes Integral für s<1 existiert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{t^{s}} \, dt \end{eqnarray*}$

Die zweite Abschätzung hab ich oben schon angefangen, man kann wieder leicht zeigen. dass:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! t^{z-1} e^{-t} \, dt \leq C \int_0^1 \! e^\frac{t}2 \, dt \end{eqnarray*}$

Und jetzt zu meinem Problem, im Buch steht ganz beiläufig, diese Abschätzungen zeigen übrigens auch, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} f_n(z) = \int_\frac{1}n^n \! t^{z-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$

lokal gleichmäßig (gegen \Gamma) konvergiert.

Kann mir dabei jemand helfen??

10.01.2011, 08:34

rone00

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ich muss die frage leider nochmal pushen, kann mir da jemand helfen??

10.01.2011, 10:32

Manni Feinbein

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Aber das ist dann doch klar, da du - gemäß Deiner Ausführungen - die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ durch, von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige, Schranken kontrollieren kannst.

Ist Dir der Begriff der glm. Kgz denn klar?

10.01.2011, 10:53

rone00

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ja der ist mir schon klar, aber so wirklich ins gesicht springt mir das hier nicht.
vor allem hätt ich gern etwas niedergeschriebenes an dem ich mich anhalten kann.

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