Äquivalenzklassen

30.12.2010, 12:55	Mathemädchen21	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Meine Frage: Hallo ihr Liebe, Also ich bin mit meinem Matheübungsblatt ein wenig ünerfordert. Es heißt geben Sie die Äquivalenzklassen zu folgenden Relationen an : R1 =((x,y)e Z \(0) x Z\(0)\| xy>0) R2 =((x,y)e Z x Z\|7\|x^2-y^2) Könnt ihr mir helfen ???? Meine Ideen:* ALso bei beiden Relationen habe ich schon rausgefunden , dass es sich um Äquivalenzrelationen handelt , da sowohl Reflexivität als auch Symmetrie und Transitivität zutreffen. Für Relation 1 müsste es nun quasi 2 Äquivalenzklassn geben , damit x* y > 0 sein kann , müssten beide also x und y entweder beide positiv sein (erste Äquivalenzklasse oder beide negativ (2. Äquivalenzklasse) aber wie schreibe ich das formal richtig auf ?? 1.Äquivalenzklasse x) = (x e Z \| x >0) und (y) = (y e Z \| y>0) 2.Äquivalenzklasse x) = (x e Z \| x <0) und (y) = (y e Z \| y<0) ? Und für die 2.Relation habe ich noch garkeinen Ansatz wieviele Äquivalenzklassen es geben könnte Danke schonmal für eure Hilfe
30.12.2010, 13:11	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} R_1: x,y \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} \text{ sind in Relation } \Leftrightarrow xy > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2: x,y \in \mathbb{Z} \text{ sind in Relation } \Leftrightarrow x^2 - y^2 = 7 \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit? edit: Falls ja. Dann geht es in der ersten Relation nur noch um die formale Schreibweise. Die lässt sich leicht im Internet finden (z.B. in einem bekannten Onlinewiki)
30.12.2010, 13:16	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Notation ist ja furchtbar... Letzteres hätte ich interpretiert als $\begin{eqnarray} R_2 =\left\{(x,y)\in \mathbb Z \times\mathbb Z\mid 7\|x^2-y^2\right\} \end{eqnarray}$ also letzteres besagt, dass x^2-y^2 durch 7 teilbar ist
30.12.2010, 13:31	MatheMädchen21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß sry für die schreckliche Notation .. hmmalso Math1986 hat es richtig formal geschrieben so ist die Relation , aber wie sind nun die Äquivalenzklassen??
30.12.2010, 13:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp zu Teilbarkeit: $\begin{eqnarray} 7\|x^2-y^2 \Leftrightarrow 7\|x+y \vee 7\|x-y \Leftrightarrow x \equiv -y \mod 7 \vee x \equiv y \mod 7 \end{eqnarray}$
30.12.2010, 13:49	MatheMädchen21	Auf diesen Beitrag antworten »
jaa.. das ist mir bekannt .. aber wie komme ich nun dort auf die Äquivalenzklassen ? Und hab immer noch nirgendswo gefunden , wie ich es zum 1. Beispiel formal richtig aufschreibe, dass die eine Äquivalenzklasse ist wenn x und y größer 0 sind und die andere wenn x und y kleiner 0 sind ??
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31.12.2010, 13:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen gehören zusammen. Eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} a R b \end{eqnarray}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ induziert eine Klasseneinteilung vermöge $\begin{eqnarray} [a]:=\{x\in M\|x R a\} \end{eqnarray}$ . Eine Klasseneinteilung einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ induziert eine Äquivalenzrelation vermöge $\begin{eqnarray} xRa : \Leftrightarrow x\in [a] \end{eqnarray}$ . Im Beispiel 1. hast du $\begin{eqnarray} M=\mathbb Z \setminus \{0\},x R y \Leftrightarrow xy>0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} [x]=\{y\in \mathbb Z\setminus \{0\}\|xy>0\} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} xy>0\Leftrightarrow y>0 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} xy>0\Leftrightarrow y<0 \end{eqnarray}$ , also gibt es genau zwei Klassen, nämlich die Klasse der positiven ganzen Zahlen und die Klasse der negativen ganzen Zahlen. Vertreter sind z.B. +1 und -1, also ist $\begin{eqnarray} \mathbb P=\{[+1],[-1]\}=\{\{x\in \mathbb Z\|x>0\},\{x\in \mathbb Z\|x<0\}\} \end{eqnarray}$ die Klasseneinteilung.

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