Grafik-Modell führt zu Widerspruch |
| 30.12.2010, 13:52 | Leidi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Grafik-Modell führt zu Widerspruch Aus einer Urne mit 5 Kugeln, die von 1 bis 5 durchnummeriert sind, werden 3 Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kugel Nr.5 und einmal Kugel Nr.2 entommen wurde? Hallo liebe Community! Mir geht es nicht wirklich um die Lösung der obigen Aufgabe, ich bin ziemlich sicher, dass ich sie ohne Probleme selbst lösen kann. Sie dient aber zur Veranschaulichung meines Problems mit einem bestimmten Modell der Kombinatorik, das zu Ergebnissen führt, die den anderen möglichen Modellen widersprechen. 1.) Modell P = (3 über 1)/5^3 = 3/125 = 0.024 2.) Modell P = (1/5)^2 * (1/5) * (3 über 1) = 3/125 = 0.024 3.) Modell P = 1/(7 über 3) = 1/35 = 0.029 Mein Problem liegt offensichtlich beim 3.Modell. Der Gedanke, der dahintersteht, ist folgender: Ich zähle die Möglichkeiten, die es gibt, 3 Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. Dazu verwende ich folgendes Modell: Ich verteile 3 Kugeln auf 5 Urnen, das entspricht einer Zeichenkette von 4 Trennstrichen und 3 "Füllsymbolen". Für die Anordnung dieser Zeichenkette gibt es dann 7 über 3 Möglichkeiten. Wenn man von dieser Zahl der Gesamtmöglichkeiten ausgeht, dann beträgt die Anzahl der günstigen Möglichkeiten genau 1. Nach meinem Verständnis müsste 1/(7 über 3) also ebenfalls die richtige Wahrscheinlichkeit liefer - das tut sich offensichtlich aber nicht. Wo liegt also der Fehler im 3. Modell? Interessant finde ich auch, dass eine Zählung dieser Möglichkeiten laut den ersten beiden Ergebnissen garnicht möglich sein kann. 3/125 = 1/x führt zu einem nicht natürlichen x. Ist die 1 im Nenner evtl. falsch? Viele Grüße und danke für's Lesen, Leidi |
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| 31.12.2010, 09:41 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bist einem der üblichen Denkfehler aufgesessen. In deinem dritten Modell verwendest du das Modell "Ziehen mit Zurücklegen OHNE Reihenfolge. Tatsächlich ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse (7 über 3). Aber ... diese Ereignissse sind NICHT gleich wahrscheinlich. Das Ereignis (1; 2; 4) tritt 3! = 6 mal so häufig auf, wie etwa das Ereignis (1; 1; 1). Und das Ereignis (2; 5; 5) gibt es immer noch 3 mal so häufg wie z.B. das Ereignis (5; 5; 5). Und wenn die Ereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, dann darf man eben nicht einfach die günstigen Fälle durch die Gesamtzahl der Fälle dividieren. Die Aufgabe musst du also wie in deinen ersten beiden Modellen MIT Reihenfolge lösen. Dadurch werden die einzelnen Ereignisse mit ihrer jeweiligen Anzahl gewichtet.
Klar ist eine Zählung der Ereignisse möglich. Es gibt 125 Möglichkeiten und davon sind 3 günstig. Warum um alles in der Welt sollte denn dein x im Nenner ganzzahlig sein? |
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| 31.12.2010, 13:08 | Leidi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, das würde alles erklären. An der Aufgabe direkt lässt sich das ja auch sofort nachvollziehen: [1,1,1] vs [1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]. Ich habe aber etwas länger gebraucht, um zu verstehen, bei welchem Schritt der Modellierung dieser Unterschied aus welchem Grund verloren geht, denn für die Zeichenketten xxx|||| und xx|x||| gibt es gleich viele Vertauschungsmöglichkeiten (3! * 4!). Trotzdem sind die Ereignisse, die diese Zeichenketten symbolisieren, nicht gleich wahrscheinlich, denn nur die Vertauschung von unterschiedlichen Ereignissen führt zu neuen Möglichkeiten, die bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beachtet werden müssen, und bei obigem Gedanken werden die Vertauschunbgsmöglichkeiten der Kugeln in einer Urne untereinander fälschlicherweise mitgezählt.
Ja, aber nicht eine Zählung der Ereignisse, die ich zählen wollte. Für die gilt nämlich, dass sie gleich wahrscheinlich sind und den Möglichkeiten des Ziehens mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge entsprechen. Dies würde bedeuten, dass 1/x = P = 3/125, wobei x die Anzahl dieser Ereignisse ist. Diese Rechnung zeigt, dass die gesuchten Ereignisse so nicht existieren können. Dass sie das sowieso nicht tun, hast du in deinem ersten Post ja schon erklärt. |
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| 31.12.2010, 13:15 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, also ... dann sind wir uns ja einig! 
Gefällt mir schon, wie du den Dingen auf den Grund gehst! Weiter so! |
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