Fourierreihen

30.12.2010, 14:27

cappelui

Fourierreihen

Also ich hab eigentlich nur eine Frage:

ich habe für folgende Aufgabe einen $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ wert berechnen Sollen mit dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi } \! f(x)*e^{-ikx} \, dx= \frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi } \! \frac{\pi -x}{2} *e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$

und dann kommt es:

$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{4\pi }\int_0^{2\pi } \! x*e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$

Wie kommt mann darauf?

Danach macht man partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi ik}*\left(\left[x*e^{x-ikx} \right]_{0}^{2\pi } - \left[\frac{e^{-ikx} }{-ik} \right]_{0}^{2\pi } \right) \end{eqnarray*}$

Ich erhalte dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi ik}*e^{-ik2\pi } *2\pi +\frac{e^{-ik2\pi } }{4\pi k^{2}i^{2} }+\frac{1}{4\pi k^{2}i^{2} } \end{eqnarray*}$

das ergebnis soll aber einfach sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2ki} \end{eqnarray*}$

Sieht einer meine Fehler ?

Danke im voraus Augenzwinkern

30.12.2010, 14:53

klarsoweit

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RE: Fourierreihen
Viel Arbeit kann man sich ersparen, wenn man weiß, was $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$ ist. Also rechne das als erstes mal aus. Dann wird auch sofort klar, was $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! \frac{\pi}{2} \cdot e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von cappelui
Ich erhalte dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi ik}*e^{-ik2\pi } *2\pi +\frac{e^{-ik2\pi } }{4\pi k^{2}i^{2} }+\frac{1}{4\pi k^{2}i^{2} } \end{eqnarray*}$

Das muß wohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4\pi ik}*e^{-ik2\pi } *2\pi - \frac{e^{-ik2\pi } }{4\pi k^{2}i^{2} }+\frac{1}{4\pi k^{2}i^{2} } \end{eqnarray*}$ lauten.

30.12.2010, 15:10

cappelui

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RE: Fourierreihen
Also wenn ich das Integral rechne:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{-ik}*e^{-ikx} \right]_{0}^{2\pi } = \frac{1}{-ik}*e^{-ik2\pi }+\frac{1}{1kx} \end{eqnarray*}$

da muss ich doch irgendwas umwandeln oder?

also mit $\begin{eqnarray*} e^{-ikx} = -(cos(kx)) +i*sin(kx)) \end{eqnarray*}$
oder???

daraus erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(2\pi k)+i*sin(2\pi k)} +\frac{1}{ik} \end{eqnarray*}$

Irgendwas fehlt mir oder???

03.01.2011, 09:17

klarsoweit

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RE: Fourierreihen

Zitat:

Original von cappelui
dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{-ik}*e^{-ikx} \right]_{0}^{2\pi } = \frac{1}{-ik}*e^{-ik2\pi }+\frac{1}{1kx} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{-ik}*e^{-ikx} \right]_{0}^{2\pi } = \frac{1}{-ik}*e^{-ik2\pi } + \frac{1}{ik} \end{eqnarray*}$

Übrigens muß man da noch k=0 und k >= 1 unterscheiden.

Zitat:

Original von cappelui
da muss ich doch irgendwas umwandeln oder?

also mit $\begin{eqnarray*} e^{-ikx} = -(cos(kx)) +i*sin(kx)) \end{eqnarray*}$
oder???

Das ist falsch. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} e^{-ikx} = cos(kx) - i \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$

Und jetzt mal für x 2*pi einsetzen.

03.01.2011, 12:13

cappelui

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RE: Fourierreihen
Ok.
Also ist
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! e^{-ikx} \, dx = \int_0^{2\pi } \! cos(kx)-i*sin(kx) \, dx \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} = \frac{sin(2\pi*k)}{k}+\frac{cos(2\pi*k)*i }{k}-\frac{i}{k} \end{eqnarray*}$

wie kann ich dass dann vereichfachen?

Hab doch das k mit drin ?????

Das ist glaube ich mein größtes Problem bei dieser Aufgabe unglücklich

03.01.2011, 12:19

klarsoweit

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RE: Fourierreihen
Genauso, wie man an der Grundschule das 1x1 lernt, sollte man (spätestens) an der Hochschule wissen, was $\begin{eqnarray*} sin(2\pi*k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(2\pi*k) \end{eqnarray*}$ ist.

03.01.2011, 12:32

cappelui

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RE: Fourierreihen
Hi nochmal,

tut mir leid, aber ich hab den wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehn Augenzwinkern

Also ist:

$\begin{eqnarray*} \sin(2\pi k)=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \cos(2\pi k)=1 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt ja dass das ergebnis für
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$
= 0 ist Augenzwinkern

Danke für deine Hilfe.

Jetzt hab ichs gecheckt...

03.01.2011, 12:48

klarsoweit

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RE: Fourierreihen

Zitat:

Original von cappelui
und daraus folgt ja dass das ergebnis für
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$
= 0 ist Augenzwinkern

Natürlich nur für ganzzahlige k ungleich Null. Augenzwinkern

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