Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen

30.12.2010, 13:44

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen

Meine Frage:
Unser Mathelehrer gab uns vor den Ferien, nachdem die halbe Klasse (leider auch ich) die Matheklausuren verhauen hatte eine "Strafaufgabe".
Die besteht darin, dass wir uns ein neues Thema allein erarbeiten und einen Vortrag dazu machen sollen.

Mein Thema:

Erläutern Sie die Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen!

Geben Sie alle Asymptoten der Funktion $\begin{eqnarray*} y= f(x)= \frac{2x^{2} - x + 1}{ x - 1} \end{eqnarray*}$ an!

Skizzieren Sie die Funktion und die Asymptoten!

Geben Sie die Gleichung einer Funktion mit den Asymptoten $\begin{eqnarray*} x= 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y= - 2 \end{eqnarray*}$ an!

So, das Problem ist, wie gesagt, dass wir das im Unterricht noch nicht hatten. Ich hab die ganzen Ferien Bücher gewälzt und hier im Internet nachgelesen, aber ich Blick nicht durch. Vielleicht könnte mir jemand einfach mal Schrittweise erklären, womit ich anfangen muss, wenn ich eine Asymptote berechnen soll.

Meine Ideen:
Also, soweit ich verstanden habe muss ich die Funktion $\begin{eqnarray*} y= f(x)= \frac{2x^{2} - x + 1}{ x - 1} \end{eqnarray*}$ als erstes umschreiben:
$\begin{eqnarray*} y= f(x)= \frac{2}{x- 1} + 2\times x+ 1 \end{eqnarray*}$
Dann kommt irgendwas mit dem limes?
Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \frac{2}{x- 1} + 2\times x+ 1 \end{eqnarray*}$
Ja, und mehr hab ich nich mal in Ansätzen kapiert.

30.12.2010, 13:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Um Asymptoten zu berechnen sollte dir der Begriff Grenzwert etwas sagen.

Betrachten wir doch mal dein Beispiel, nach Polynomdivision von $\begin{eqnarray*} (2x^2-x+1) : (x-1)=2x+1+\frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Was passiert nun mit dem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$ wenn x gegen unendlich geht, also immer größer wird?

30.12.2010, 13:59

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Dann wird der Bruch immer kleiner und man rechnet am Ende +0? Also gar nichts?

30.12.2010, 14:03

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Gut, der Bruch geht gegen 0, also ist die Asymptote $\begin{eqnarray*} g(x)=2x+1 \end{eqnarray*}$ .

30.12.2010, 14:05

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Ergo das ganze Teil hat nur eine Asymptote? Oo
Ich dachte da gibts 3 oder 4^^
Und das mit der Asymptote stimmt so, also da krieg ich keine Zahlen raus oder so? verwirrt

verwirrt

30.12.2010, 14:20

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Oft bezeichnet man auch die Polstellen als Asymptoten. Dann wäre die senkrechte Gerade x = 1 eine weitere Asymptote.

Anzeige

30.12.2010, 14:23

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Ok, also wenn dass die einzigen 2 Asymptoten sind, dann kann ich auch die 2. Aufgabe lösen, das mit dem skizzieren bekomm sogar ich hin^^
Aber dann macht mich was stutzig.
Oben in der 3. Aufgabe steht ja, ich soll eine Funktion angeben, die die Asymptoten
$\begin{eqnarray*} x= 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y= - 2 \end{eqnarray*}$ hat. Also gibt es x- und y-Asymptoten?
Und wenn das so ist, dann ist die Asymptote $\begin{eqnarray*} g(x)= 2x+ 1 \end{eqnarray*}$ eine y- oder eine x-Asymptote? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Und die x=1 ist eine x-Asymptote oder? verwirrt

verwirrt

30.12.2010, 14:39

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
omg omg, ich glaube ich habs gecheckt^^
Also y=2x+1 is aufjeden Fall eine Asymptote und x=1 sieht auch aus wie eine. Jetzt wo ich mal gezeichnet hab, check ich das langsam.
Ah zu 3. is mir grad was aufgefallen. Da steht net $\begin{eqnarray*} y= - 2 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} y= - 1 \end{eqnarray*}$

30.12.2010, 14:43

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Die Begriffe x-Asymptote bzw. y-Asymptote kenne ich nicht. Mir geläufige ist die Unterscheidung in

- senkrechte Asymptoten, z. b. x = 1
- waagrechte Asymptoten, z. B. y = -2
- schräge Asymptoten, z. B. y = 2x + 1

30.12.2010, 14:51

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Ah^^ alles klar, also hat die Funktion 2 Asymptoten, undzwar eine seknrechte und eine schiefe...
Ok, ich versuch mich mal an Aufgabe 3^^
Danke erstmal, das war schon eine riesige Hilfe!

30.12.2010, 15:02

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
So, zur Aufgabe 3.:
Wenn ich die Funktion die ich eben hatte als Grundlage nehme, und im Nenner statt $\begin{eqnarray*} x- 1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x- 2 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann hab ich doch schon die senkrechte Asymptote $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ . Was muss ich denn jetzt machen um zusätzlich die Asymptote $\begin{eqnarray*} y = - 1 \end{eqnarray*}$ zu erhalten? Weil wenn ich was am Zähler ändere, stimmt $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ ja nicht mehr?

30.12.2010, 15:12

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Betrachte deine Funktion mal in der Form nach der Polynomdivision, siehe Igrizu. Für die waagrechte Asymptote musst du den ganzrationalen Teil ändern.
Wenn du willst, kannst du hinterher wieder alles auf einen Bruchstrich schreiben.

30.12.2010, 15:16

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
der ganzrationale Teil... Also der Bruch, der gegen 0 geht?

Ah ok, ich habs, hab nben bissel rumprobiert, jetzt nur noch die richtige Lösung finden^^

Danke!

30.12.2010, 15:22

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Nein, der ganzrationale Teil (oder Polynomteil) ist der Term 2x + 1. Den Ausdruck ganzrationale Funktion habt ihr doch sicher benutzt.
Überlege mal, wie du diesen Term ändern kannst, um eine waagrechte Asymptote zu bekommen.

30.12.2010, 15:27

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
also, ich habl mal folgendes gemacht: $\begin{eqnarray*} 2\times x^{0}- 3+\frac{2}{x- 2} \end{eqnarray*}$ und ich glaube das haut hin...^^

man könnte das $\begin{eqnarray*} 2\times x^{0} \end{eqnarray*}$ auch durch 2 ersetzen denke ich mal... bzw auch den gesamten Teil durch - 1

Also kommt raus: $\begin{eqnarray*} - 1+\frac{2}{x- 2} \end{eqnarray*}$

30.12.2010, 15:32

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Stimmt! Freude

Freude

Zitat:

Original von Acki
$\begin{eqnarray*} 2\times x^{0}- 3 \end{eqnarray*}$

Aber den Term darfst du ruhig einfacher schreiben.

Edit: Was du gerade gemacht hast

30.12.2010, 15:39

Acki

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ermittlung von Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion an Beispielen
Ok, alles klar, ich danke euch.
Ich werd meine Ergebnisse jetzt mal in Vortragsform bringen!
Ohne eure Hilfe würd ich jetzt wohl grade immer noch ohne Plan dasitzen.
Also nochmal vielen vielen Dank! Gott

Gott

Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »