normale p-Sylow-Untergruppe

30.12.2010, 15:13

Gast11022013

normale p-Sylow-Untergruppe

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G|=40 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine normale Sylow-Untergruppe besitzt.

Wie könnte man das beweisen?

Meine Ideen:
Was ich weiß, ist Folgendes:

U ist Normalteiler von G genau dann, wenn U die einzige p-Sylow-Untergruppe von G ist.

Dies wiederum bedeutet doch $\begin{eqnarray*} n_p=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich fühle mich daher irgendwie an den 3. Sylowsatz erinnert.

30.12.2010, 15:14

Math1986

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Was besagen die Sylow-Sätze denn, und welche kannst du hier anwenden?

30.12.2010, 15:32

Gast11022013

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1. Sylowsatz:

Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} |G|=p^rm \end{eqnarray*}$ , p prim und $\begin{eqnarray*} p\nshortmid m \end{eqnarray*}$ . So folgt:

$\begin{eqnarray*} \exists \forall s\in \left\{1,...,r\right\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U_s \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |U_s|=p^s \end{eqnarray*}$ .

2. Sylowsatz:

Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} |G|=p^rm \end{eqnarray*}$ , p prim und $\begin{eqnarray*} ggT(p,m)=1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} P\leq G \end{eqnarray*}$ p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\leq G \end{eqnarray*}$ eine p-Gruppe.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a\in G, aUa^{-1}\leq P \end{eqnarray*}$

3. Sylowsatz:

Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe (endlich) und sei p prim. Weiter gelte: p ist Teiler von $\begin{eqnarray*} |G| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} n_p \end{eqnarray*}$ die Anzahl der p-Sylow-Gruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_p \end{eqnarray*}$ ist Teiler von $\begin{eqnarray*} |G| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_p\equiv 1 \end{eqnarray*}$ (mod p).

Dies sind die 3 Sylowsätze. So weit, so gut.

Ich denke, man kann hier den 3. und den 1. Sylowsatz brauchen.

Ich müsste jetzt 40 irgendwie als $\begin{eqnarray*} p^r*m \end{eqnarray*}$ schreiben, wobei p und m teilerfremd sein müssen. [Oder?]

Vielleicht $\begin{eqnarray*} 40=2^3*5 \end{eqnarray*}$ , also p=2, r=3, m=5.

Wäre es die richtige Strategie zunächst alle p-Sylow-Untergruppen zu bestimmen und dann zu sehen, dass es von irgendeiner nur eine einzige gibt, die dann ja Normalteiler ist?

30.12.2010, 16:42

Math1986

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Ja, du bestimmst erstmal die Primzahlzerlegung der Gruppenordnung und dann berechnest du die Anzahl der Sylowgruppen

30.12.2010, 17:32

Gast11022013

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Zitat:

Original von Math1986
Ja, du bestimmst erstmal die Primzahlzerlegung der Gruppenordnung und dann berechnest du die Anzahl der Sylowgruppen

Also die Primzahlzerlegung ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} 2^3*5=2*2*2*5=40 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet doch, dass es 2-Sylow-Gruppen und 5-Sylow-Gruppen gibt.

Aber das kann man bestimmt noch spezieller betrachten. Fragt sich nur, wie.

30.12.2010, 17:56

Gast11022013

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Ich versuche es gerade selbst hinzubekommen.

Es ist also $\begin{eqnarray*} 40=2^3*5 \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt für die Anzahl der 2-Sylow-Gruppen:

$\begin{eqnarray*} n_2\in \left\{1,5,20\right\} \end{eqnarray*}$ und

für die Anzahl der 5-Sylow-Gruppen:

$\begin{eqnarray*} n_5\in \left\{1,8\right\} \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin korrekt?

30.12.2010, 18:26

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich versuche es gerade selbst hinzubekommen.

Es ist also $\begin{eqnarray*} 40=2^3*5 \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt für die Anzahl der 2-Sylow-Gruppen:

$\begin{eqnarray*} n_2\in \left\{1,5,20\right\} \end{eqnarray*}$ und

für die Anzahl der 5-Sylow-Gruppen:

$\begin{eqnarray*} n_5\in \left\{1,8\right\} \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin korrekt?

Bis hierhin ja..nun ist aber $\begin{eqnarray*} n_p\equiv 1 \end{eqnarray*}$ (mod p), dadurch kannst du die Zahlen noch weiter eingrenzen

30.12.2010, 18:37

Gast11022013

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Ah, richtig!

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} n_2=\left\{1,5\right\} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} n_5=\left\{1\right\} \end{eqnarray*}$ .
Somit ist die 5-Sylow-Untergruppe normal.

Damit ist der Beweis schon beendet, denn es war zu zeigen, dass eine Gruppe der Ordnung 40 eine normale Sylow-Untergruppe besitzt.

[Ich möchte hier gerne noch eine weitere Frage anschließen: Wieso ist es eigentlich so, dass eine p-Sylow-Gruppe Normalteiler ist, wenn sie die einzige p-Sylow-Gruppe einer Gruppe ist?]

30.12.2010, 18:44

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
[Ich möchte hier gerne noch eine weitere Frage anschließen: Wieso ist es eigentlich so, dass eine p-Sylow-Gruppe Normalteiler ist, wenn sie die einzige p-Sylow-Gruppe einer Gruppe ist?]

Okay, nehmen wir mal an, eine p-Sylow-Gruppe sei die Einzige Ihrer Ordnung.
Da die Sylowsätze auch besagen dass je zwei Sylowgruppen zueinander konjugiert sind, muss diese einzige Sylowgruppe somit selbstkonjugiert sein, und genau das ist ein Normalteiler.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt übrigens auch

30.12.2010, 19:12

Gast11022013

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Danke, das leuchtet ein. Ich möchte es dennoch versuchen einmal sauber auszuformulieren.

Sei also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Ich versuche zu zeigen:

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist die einzige p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D \vartriangleleft G \end{eqnarray*}$

Beweis:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :" Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die einzige p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \forall g\in G \end{eqnarray*}$ ist aus "Anzahlgründen" auch $\begin{eqnarray*} gDg^{-1} \end{eqnarray*}$ eine p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der vorausgesetzten Einzigkeit gilt $\begin{eqnarray*} D=gDg^{-1} \end{eqnarray*}$ , d.h. gerade $\begin{eqnarray*} D \vartriangleleft G \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ :" Sei $\begin{eqnarray*} D \vartriangleleft G \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ p-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Nach dem 2. Sylowsatz ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ konjugiert zu $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists g\in G: M=gDg^{-1} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} D \vartriangleleft G \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} D=gDg^{-1} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} D=M \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Ich bitte um evtl. Korrektur.

30.12.2010, 19:14

Math1986

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Das ist soweit korrekt

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