[Artikel] Wie man sich Formeln merkt ...

30.12.2010, 16:00

Airblader

[Artikel] Wie man sich Formeln merkt ...

Übersicht:

1. Einleitung

Schüler kennen das leidige Problem: Wie soll man sich nur all die Formeln merken? Studenten geht es oft nicht unähnlich: Auch wenn sie merken, dass Mathematik was Anderes als Rechnen ist, so besteht es nichts desto trotz doch aus vielen Definitionen und Formeln.
Wie kann man sich all diese Dinge nun aber effizient merken? Dieser Frage möchte ich mich in diesem mal etwas anderem Artikel widmen. Ich betone dabei, dass dies lediglich eine Möglichkeit ist. Ich lade jeden dazu ein, andere Methoden oder Vorschläge hinzuzufügen, denn der richtige Weg, falls er überhaupt existiert, hängt meist von der Person selbst ab. Ich behalte mir auch selber vor, das ein oder andere hinzuzufügen, denn man lernt auch selbst nie aus. Augenzwinkern

30.12.2010, 16:01

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

2. Das Verständnis

Mathematik ist nicht nur Rechnen und Formeln - es ist Theorie, es ist Logik .. es ist Verständnis. Ob / Dass dies in der Schule oft zu kurz kommt ist ein Problem, aber ein anderes. Doch gerade dieser Punkt erscheint mir mit am Wichtigsten:

Regel #1: Wer weiß, wie eine Formel funktioniert und was sie bedeutet, der merkt sie sich leichter!

Der Grund hierfür ist ganz simpel: Eine Formel, die man nicht versteht, ist nur ein Salat aus Buchstaben und Symbolen, die man sich - und dann auch noch in der richtigen Anordung und Reihenfolge - schlicht merken muss. Und sie anzuwenden ist dann nochmal etwas anderes!
Wer aber versteht, woher eine Formel kommt und warum sie funktioniert, der hat in seinem Gehirn die abstrakteren Zusammenhänge hinterlegt. Dies birgt einen weiteren enormen Vorteil: Selbst wenn man mal eine Formel nicht mehr weiß, so kann man sie sich oft problemlos und in kurzer Zeit selber überlegen!

Zitat:

Beispiel: Der Satz des Pythagoras
Wenn wir mal in alter Familienduell-Manier einhundert Leute fragen, wie der Satz des Pythagoras lautet, so kommt als 'Top-Antwort' vermutlich: "a² + b² = c²". Ein reiner Symbolsalat - ganz lecker, aber leider ohne Dressing, der ihm die richtige Würze verleiht und ihn zum unvergesslichen Erlebnis macht. Ich möchte hier nicht groß auf die Mathematik eingehen, aber wer sich den Satz des Pythagoras zum Beispiel ganz anschaulich merkt, indem er sich die Flächen über den Seiten vorstellt (siehe hier), der merkt sich das schon viel leichter. In diesem Beispiel gilt das insbesondere für Schüler, von Studenten darf man da dann doch einiges mehr erwarten.

Für Studenten ist das eine Selbstverständlichkeit, aber bei Schülern appelliere ich: Nehmt euch die Zeit, die Dinge auch zu verstehen. Ich weiß, die meisten Schüler finden Mathematik eher öde, darum möchte ich euch das Ganze schmackhafter machen: Die Zeit, die ihr dafür investiert, bekommt ihr doppelt und dreifach wieder heraus, weil ihr euch die Formel nicht alle zwei Wochen oder für jede Klausur mit Gewalt in den Schädel prügeln müsst. Und ganz nebenbei tut ihr das, was ihr in der Schule auch tun sollt - ihr lernt etwas. Augenzwinkern

30.12.2010, 16:01

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

3. Beispielüberlegungen

Jetzt kommt etwas, das viele Studenten bei Beweisen gerne machen, dort aber ganz falsch ist - Beispiele benutzen! Was ich damit meine?
Nehmen wir an, es geht um irgendeine Formel. Jetzt weiß man noch grob, wie sie aussah, aber man weiß vielleicht nicht mehr, ob da nun eine '0' oder doch eher eine '1' stand (siehe Beispiel). Wenn man sich nun ein oder zwei Beispiele überlegt, so kann man dies oft herausfinden (in Klausuren besonders nützlich!). Wenn man mag, kann man es sich auf diese Weise sogar sparen, die Formel bis ins Detail zu können (ich rate nicht dazu, ich benenne lediglich die Möglichkeit). Wichtig ist lediglich, dass diese Beispiele zwar einfach, aber nicht zu einfach sein sollten, sonst kann es auch mal schiefgehen. Daher:

Regel #2: Ein Beispiel kann Details einer Formel verraten.

Natürlich möchte ich auch dazu ein Beispiel anbringen - beziehungsweise sogar gleich zwei Stück.

Zitat:

Beispiel für Schüler: Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel (oder auch pq-Formel) ist in eines der wichtigsten Werkzeuge in der Schulmathematik. Doch wie lautete sie nun nochmal ... plus b .. minus vier mal a mal c .. oder doch minus? Gerade in Stresssituationen, und das bedeutet natürlich in Klausuren, kann einem sowas schon mal ganz leicht entfallen, selbst wenn man vorher dachte, man kann es sich merken. Was hier Abhilfe schafft: Sich selber kurz eine Gleichung denken, deren Lösung man ganz leicht sieht bzw. weiß und dann die Formel darauf loslassen und schauen, ob es nun ein Plus oder Minus sein muss. Das können Beispiele wie $\begin{eqnarray*} x^2 - 4 = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x+4)(x-2) = 0 \end{eqnarray*}$ sein (letzteres multipliziert an dann kurz aus und weiß aber sofort die Lösungen x=-4 und x=2).
Auch hier: Ich gehe gerade weniger auf die Mathematik selbst ein. Wem das nicht ganz klar ist, der fragt bitte hier im Board einfach mal nach! Augenzwinkern

Zitat:

Beispiel für Studenten: Geometrische Reihe
Fängt die geometrische Reihe jetzt nochmal beim Summenindex Null oder doch Eins an? Das ist ein Fehler, der häufig passiert, vermutlich auch den meisten Studenten schon mindestens einmal passiert ist - ob nun bewusst oder unbewusst. Im Zweifel gilt: Ein Beispiel kann helfen! Und hier kann man sich ein ganz einfaches Beispiel überlegen .. nämlich das für q=0. Dann ist mit der Formel nämlich:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=\text{?}}^\infty 0^k = \frac{1}{1-0} = 1 \end{eqnarray*}$
Aber wenn man links nur über Nullen summiert, wie soll dann eins rauskommen? Jetzt muss man sich nur noch daran erinnern, dass $\begin{eqnarray*} 0^0 := 1 \end{eqnarray*}$ gesetzt wurde und schon ist klar: $\begin{eqnarray*} \text{?} = 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Jetzt mag sich manch einer denken, dass solche Überlegungen eventuell einige Denkschritte brauchen (vor allem das Studentenbeispiel). Ja, das mag stimmen - aber wenn man diese Denkschritte ausführen kann, um das Vergessene wieder ins Gedächtnis zu rufen, warum nicht? Es kostet vielleicht eine Minute, doch es ist im Notfall sicher besser als sich gar nicht zu erinnern.

30.12.2010, 16:02

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

4. Übung

Ein Effekt, den ich selber nach vielen Jahren ganz deutlich bemerkt habe: Je mehr man solche Taktiken verinnerlicht, desto einfacher werden sie. Anfangs kostet es noch zwei Minuten, sich ein Beispiel zu überlegen oder sich etwas nochmal herzuleiten, nach einiger Zeit nur noch eine Minute und irgendwann erinnert man sich einfach spontan an ein Beispiel und ohne Nachdenken sofort an die richtige Formel - soll heißen: Diese Taktiken sind durchaus nicht nur Notbehelfe, sondern helfen auch über lange Zeit, sich diese Dinge im Kopf zu behalten!

Regel #3: Übung macht den Meister, auch die Übung in Etwas-Vergessen-Und-Sich-Wieder-Daran-Erinnern.

Mir persönlich ging es zum Beispiel beim obigen Beispiel der geometrischen Reihe so. Aus irgendeinem Grund fiel es mir anfangs schwer, mir den Summationsstart zu behalten - und jedes Mal musste ich nachdenken. Nach einiger Zeit dachte ich sofort an das Beispiel und noch im selben Atemzug an die Lösung, ohne darüber nachzudenken, warum das nun zur Lösung führt. Und inzwischen brauche ich auch nicht mehr diesen Zwischenschritt über das Beispiel.
Das ein oder andere kleine Problem hat irgendwo wohl fast jeder und es ist nichts Schlimmes daran. Man muss nur schauen, dass man auch einen Ausweg findet und diese Falte wieder geradebügelt. Augenzwinkern

Ich behaupte sogar, dass solche Vorgehensweisen einen ganz universal weiterbringen und das Lernen fördern, nicht nur im Hinblick auf genau dieses Problem, denn sie lehren einem das Denken, nicht das Auswendiglernen.

30.12.2010, 16:02

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

5. Verwende nicht alles

Seht diese Taktiken und Tipps bitte als Fundgrube, als Schatzkiste, als Werkzeugbox - keineswegs als ein "untrennbares Ganzes". Benutzt das, was euch hilft (dazu müsst ihr den Dingen ggf. aber eine Chance geben!) und was euch widerstrebt lasst ihr eben weg. Es ist eure Entscheidung. Augenzwinkern

Regel #4: Wenn etwas nicht hilft, mache etwas anderes.

Im Hinblick auf den folgenden Abschnitt formuliere ich es noch etwas anderes: Diese Tipps sind Puzzleteile und das ein oder andere kommt euch schräg und unförmig vor; es passt einfach nicht zu dir, aber vielleicht zu jemand anderem. Wenn es dir so geht, dann lege das Puzzleteil einfach beiseite, denn wer ein unnützes Puzzlestück nicht aussortiert, der wird immer wieder vergeblich versuchen, es in das Puzzle einzufügen - und am Ende kostet dies nur Zeit und widerspricht genau dem, was wir erreichen möchten.

30.12.2010, 16:03

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

6. Verwende alles

Auch wenn dies alles einzelne, für sich stehende Werkzeuge sind, so sind es doch gewissermaßen Puzzleteile - und je mehr Teile man zusammensetzt, desto klarer wird das Bild. Ihr solltet also nur Puzzleteile verwenden, die zu euch passen, aber von diesen Teilen mehrere zur Auswahl zu haben schadet nie. Wer mehr Möglichkeiten hat, ein Problem zu lösen, der hat auch bessere Chancen, dass ihm dies gelingt!

Regel #5: Beschränke dich nicht auf nur eine Technik, sondern verwende alles, was dir zusagt!

Im Hinblick auf den vorausgehenden Abschnitt betone ich hierbei den letzten Halbsatz: Verwende wirklich auch nur das, was dir nützt. Viele Menschen, Bücher, Unternehmen etc. können dir viel erzählen, dass Methode XYZ supereffektiv ist - wenn sie für dich nicht funktioniert, so ist sie wertlos. Es geht hier stets darum, den richtigen Weg für sich selbst zu finden. Dieser mag im Groben für die meisten Menschen ähnlich sein, doch die Details können sich sehr wohl unterscheiden. Dies gilt ausdrücklich auch für alle Ideen, die ich hier vorstelle - nur weil sie mir nützen, bringen sie dir noch lange nichts .. aber die Möglichkeit besteht, und darum teile ich sie mit dir!

03.05.2012, 15:23

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

7. Achte auf Einheiten

Oft ist man sich nicht mehr sicher: Man erinnert sich noch an $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi r \end{eqnarray*}$ , aber was davon war nun Umfang und was der Flächeninhalt (eines Kreises)?

Hier ist es nützlich, auf die Einheiten zu schauen. Der Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist eine Länge, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \text{m} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ eine Größe mit der Einheit $\begin{eqnarray*} \text{m}^2 \end{eqnarray*}$ , was offenbar eine Fläche beschreiben muss, während $\begin{eqnarray*} 2\pi r \end{eqnarray*}$ weiterhin in $\begin{eqnarray*} \text{m} \end{eqnarray*}$ gemessen wird und daher eine Länge ist. Dies macht es leichter, sich wieder daran zu erinnern, welche Formel zu welcher Größe gehört.

Regel #6: Das Überprüfen von Einheiten in einer Formel kann helfen, zu identifizieren, zu welcher Größe sie gehört.

Auch zum Überprüfen, ob Formeln Sinn ergeben, kann das nützlich sein. Wenn die Dimension nicht passt, kann irgendwas nunmal nicht stimmen.

Allerdings funktioniert das Ganze natürlich nicht für alle Formeln, sondern nur für Formeln mit diesen entsprechenden Einheiten (also "angewandte" Formeln).

air

Neue Frage »

Antworten »

[Artikel] Wie man sich Formeln merkt ...

Verwandte Themen