DGL von Bernoulli

30.12.2010, 16:04	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL von Bernoulli Hallo, ich soll zeigen, dass die DGL: $\begin{eqnarray} y'+a(x)y=b(x)y^n \end{eqnarray}$ via Substitution mittels $\begin{eqnarray} u(x)=y^{1-n} \end{eqnarray}$ in eine lineare DGL erster Ordnung gebracht werden kann. Mein Ansatz war: $\begin{eqnarray} u(x)=y^{1-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)^{-1}=(y^{1-n})^{-1} \end{eqnarray}$ -- > $\begin{eqnarray} u(x)^{-1}=y^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)^{-1}y=y^{n-1}y \end{eqnarray}$ -- > $\begin{eqnarray} u(x)^{-1}y=y^n \end{eqnarray}$ Nun $\begin{eqnarray} y^n=u(x)^{-1}y \end{eqnarray}$ in die DGL einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} y'+a(x)y=b(x)\frac{y}{u(x)} \end{eqnarray}$ Nun hat man eine DGL erster Ordnung, stimmt das Verfahren so? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- In meinem zweiten Teil soll ich dieses Verfahren nun anwenden auf: $\begin{eqnarray} y'(x)=\epsilony(x)-\sigma y^{-3}(x) \end{eqnarray}$ In meinem Buch habe ich nun eine tolle Formel gefunden,auf die ich aber hier bei der Aufgabe (ohne Buch!) nicht gekommen wäre: $\begin{eqnarray} u'+(1-a)f(x)u=(1-a)r(x) \end{eqnarray}$ und dabei ist definiert: $\begin{eqnarray} u=y^{1-a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u'=(1-a)y^{-a}y' \end{eqnarray}$ Wie komme ich auf diese Formel? Und wie komme ich drauf, das $\begin{eqnarray} u'=(1-a)y^{-a}y' \end{eqnarray}$ ist wenn $\begin{eqnarray} u=y^{1-a} \end{eqnarray}$ ? Wende ich das nun an komme ich auf: $\begin{eqnarray} u'+4\epsilon u=-4\sigma \end{eqnarray}$ , das wäre ja dann eine inhomogene lineare DGL erster Ordnung. Nur wie ich das ganze herausfinden soll ohne die Formel aus dem Buch zu verwenden? Viell. hat mir jemand Hilfe wie man's ohne die Formel bzw. den Ansatz schafft. Danke
30.12.2010, 20:48	Lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL von Bernoulli Hallo Physinetz, deine Subst. $\begin{eqnarray} u(x)=y^{1-n} \end{eqnarray}$ ist richtig. Diese musst du richtig ableiten, dann in deine Aufgabe $\begin{eqnarray} y'+a(x)y=b(x)y^{n} \end{eqnarray}$ einsetzen und umformen. Du erhälst eine DGL in u(x) und ohne den Exponenten n. $\begin{eqnarray} u(x)=y^{1-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)'=(1-n)y^{-n}y' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)'=\frac{(1-n)y'}{y^{n} } \end{eqnarray}$ Wenn du deine ursprüngliche DGL durch $\begin{eqnarray} y^{n} \end{eqnarray}$ dividierst, folgt: $\begin{eqnarray} \frac{y'}{y^{n} }+a(x)\frac{y}{y^{n} }=b(x) \end{eqnarray}$ Aus Zeile drei folgt: $\begin{eqnarray} \frac{y'}{y^{n} }=\frac{1}{1-n}u(x)' \end{eqnarray}$ Wenn du das jetzt einsetzt und beachtest, dass $\begin{eqnarray} \frac{y}{y^{n} }=y^{1-n}=u(x) \end{eqnarray}$ ist, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-n}* u(x)'+a(x)u(x)=b(x) \end{eqnarray}$ wenn du jetzt mit $\begin{eqnarray} (1-n) \end{eqnarray}$ multiplizierst und diesen Faktor in $\begin{eqnarray} a(x) \end{eqnarray}$ bzw. in $\begin{eqnarray} b(x) \end{eqnarray}$ involvierst, dann lautet deine gesuchte DGL in $\begin{eqnarray} u(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} u(x)'+\alpha (x)u(x)=\beta (x) \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \alpha (x)=(1-n)a(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta (x)=(1-n)b(x) \end{eqnarray*}$ Lucas

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