DGL in separierbare überführen

30.12.2010, 16:10

Physinetz

DGL in separierbare überführen

Grüß Gott,

ich soll bei einer Aufgabe die folgende Lösung der DGL berechnen, indem ich die Substitution x*z(x)=y(x) verwende.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x²+y²}{xy} \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag wäre:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x²+(x*z)²}{x*x*z} \end{eqnarray*}$

Und das linke y' wäre ja:

$\begin{eqnarray*} x*z(x)=y(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1*z(x)+x*z'(x)=y'(x) \end{eqnarray*}$

Also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} z+x*z'=\frac{x²+(x*z)²}{x*x*z} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hier?

Und nun müsste ich das ja nach x und nach z umformen, jeweils auf eine Seite, hat da jemand einen Tipp falls das überhaupt so funktioniert?

Dankeschön sagt Physinetz Blumen

30.12.2010, 19:22

Mulder

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RE: DGL in separierbare überführen

Zitat:

Original von Physinetz
Und nun müsste ich das ja nach x und nach z umformen, jeweils auf eine Seite, hat da jemand einen Tipp falls das überhaupt so funktioniert?

Ist richtig bis jetzt. Und komm, was jetzt noch zu tun ist, ist wirklich supereinfach. Den Bruch rechts kannst du noch enorm vereinfachen. Das kriegst du hin.

smile

30.12.2010, 22:41

Physinetz

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Wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} z+x*z'=\frac{1+z}{z} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich noch umformen nach z (links) und x (rechts):

$\begin{eqnarray*} z'*(\frac{1+z}{z} -z)^{-1}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Nun:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+z}{z} -z)^{-1}dz=\frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Integrieren und nach z umstellen, stimmen meine Umformungen?

30.12.2010, 22:53

Mulder

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Zitat:

Original von Physinetz
Wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} z+x*z'=\frac{1+z}{z} \end{eqnarray*}$

Da gehen die Fehler schon gleich wieder los. unglücklich

Schau dir im Schritt vorher nochmal den Zähler genau an, da steht (x*z)².

31.12.2010, 12:30

Physinetz

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Hmm stimmt, zu schnell im Kopf gerechnet..

$\begin{eqnarray*} z+x*z'=\frac{1+z²}{z} \end{eqnarray*}$

und dann?

31.12.2010, 19:15

Mulder

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RE: DGL in separierbare überführen
Wie, "und dann"? Weiter rechnen...

02.01.2011, 19:36

Physinetz

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Ok dann komme ich weiter auf:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{z} =-x\frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$

Bzw.:

$\begin{eqnarray*} z~dz=\frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} z²=ln(x)+c \end{eqnarray*}$

Finally:

$\begin{eqnarray*} z(x)=\sqrt{2*ln(x)} +k \end{eqnarray*}$ (*)

Jetzt noch das ganze Resubstituieren:

Komme ich auf $\begin{eqnarray*} y(x)= x*z(x) = x* \sqrt{2*ln(x)} +k \end{eqnarray*}$

Dürfte sogar stimmen laut wolframalpha...

Nur haben die die Konstante mit in die Wurzel eingerechnet, aber eigentlich kann ich diese doch auch neu benennen (hier dann mit k bei *) und dann einfach außerhalb der Wurzel hinschreiben oder?

Gruß und besten Dank an Mulder !!!

02.01.2011, 23:24

Mulder

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RE: DGL in separierbare überführen

Zitat:

Original von Physinetz
Nur haben die die Konstante mit in die Wurzel eingerechnet, aber eigentlich kann ich diese doch auch neu benennen (hier dann mit k bei *) und dann einfach außerhalb der Wurzel hinschreiben oder?

Nein, warum solltest du das dürfen? Die Konstante kam doch, bevor du auf beiden Seiten die Wurzel gezogen hast. Das sind hier Details, die ganz entscheidend sind.

Du sollstest das wirklich ruhig mal ausprobieren, bei DGLn kann man ja immer ganz leicht überprüfen, ob die eigene Lösung stimmt, indem man es einfach mal einsetzt. Die Lösung von Wolfram wird passen, deine hingegen nicht. Mit den Konstanten kannst du nicht beliebig rumspielen.

Übrigens: Selbst wenn du das dürftest, hättest du es trotzdem noch falsch gemacht, denn wenn

$\begin{eqnarray*} z(x)=\sqrt{2 \ln(x)} +k \end{eqnarray*}$

wäre und

$\begin{eqnarray*} y(x)=x \cdot z(x) \end{eqnarray*}$

dann wäre das allenfalls

$\begin{eqnarray*} y(x)=x \cdot (\sqrt{2 \ln(x)} +k) = x \cdot \sqrt{2 \ln(x)} + x \cdot k \end{eqnarray*}$

Du kannst ja nicht einfach nur den Wurzelterm mit x multiplizieren und das k nicht.

Prinzipiell ist deine Vorgehensweise ja jetzt wohl richtig, aber diese Details sind wichtig, auch diese kleinen Fehler zerschießen dir später die komplette DGL.

04.01.2011, 12:49

Physinetz

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Zitat:

Nein, warum solltest du das dürfen?

Zum Beispiel spiele ich ja hier auch mit den Konstanten:

$\begin{eqnarray*} z~dz=\frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Dann integriere ich ja eigentlich, sodass links und rechts eine Konstante entsteht, die ich aber direkt als eine einzige neue Konstante c auffasse:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} z²=ln(x)+c \end{eqnarray*}$

Dachte wenn ich eine Konstante bei der Integration hinzufüge ist diese ja beliebig (solange keine Anfangswertbedingungen gegeben sind), deshalb kann ich sie mir auch entsprechend anpassen, aber da liege ich wohl falsch?!

04.01.2011, 13:08

Mulder

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RE: DGL in separierbare überführen

Zitat:

Original von Physinetz
Dachte wenn ich eine Konstante bei der Integration hinzufüge ist diese ja beliebig (solange keine Anfangswertbedingungen gegeben sind), deshalb kann ich sie mir auch entsprechend anpassen [...]

Sicher, aber das ist eine ganz andere Geschichte. Wenn du rechts und links eine Integrationskonstante erhälst, kannst du diese beiden Konstanten zu einer zusammenfassen, weil eine einzelne beliebige Konstante den gleichen Wertebereich (ganz R) durchläuft wie zwei Konstanten. Das heißt, die Lösungsmenge bleibt die selbe.

Es ist aber nicht egal, ob die Konstante in oder außerhalb der Wurzel steht. Das wird dann doch eine ganz andere Funktion. Das spiegelt sich dann zum Beispiel beim Ableiten wieder. Betrachte

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{2 \ln(x)+k} \quad \Rightarrow \quad z' = \frac{1}{x \sqrt{2 \ln(x)+k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{2 \ln(x)} +k \quad \Rightarrow \quad z' = \frac{1}{x \sqrt{2 \ln(x)}} \end{eqnarray*}$

In der Variante 2 verschwindet das k einfach. Siehst du, warum nicht beides die obige DGL erfüllen kann? Du musst immer die Reihenfolge beachten: Du hast erst integriert und danach die Wurzel gezogen. Es ist wichtig, dass die Integrationskonstante genau zu dem Zeitpunkt ins Spiel kommt, zu dem du auch tatsächlich integrierst. Dann ist die Konstante da und dort, wo sie steht, gehört sie auch hin und mit ihr rechnest du dann auch weiter. Du hast ja jetzt integriert, dann die Wurzel gezogen und DANACH die Integrationskonstante dazugepackt. Kurzum: Du hast einfach die Rechenreihenfolge komplett durcheinander geschmissen. Die Konstanten selbst sind beliebig, nicht aber der Zeitpunkt, in dem sie ins Spiel kommen.

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