Gleichung mit Wurzeln lösen

30.12.2010, 16:20

rainbow_01

Gleichung mit Wurzeln lösen

Meine Frage:
Habe folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{5-x^{2} } } = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Man bestimme alle reellen Lösungen.

Meine Ideen:
ich hätte alles erst mal hoch 2 genommen, damit die wurzel verschwindet un dann auf den HN gebracht. Danach komm ich jedoch nicht mehr weiter.

Edit (mY+): LaTex berichtigt.

30.12.2010, 16:29

tohuwabou

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Schreib deine Rechnung doch mal hin.

30.12.2010, 16:50

rainbow_01

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steht über deinem beitrag

30.12.2010, 16:55

mYthos

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Erst den Term mit der Wurzel isolieren, dann erst quadrieren.

mY+

30.12.2010, 17:17

rainbow_01

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ok dann steht es so da nach dem isolieren und quadrieren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5-x^{2} } = \frac{9}{4} -\frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Nun multipliziert man doch alles dann mit dem HN. In dem Fall ist es 4x²(5-x²).

Dann hab ich nach dem multiplizieren die Gleichung -9x^4+45x²-20=0 richtig? Oder habe ich da was falsch gemacht?

30.12.2010, 17:22

tohuwabou

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$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2}-\frac{1}{x})^2 \neq \frac{9}{4}-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Binom.

30.12.2010, 18:11

rainbow_01

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trotz der info komm ich trotzdem nicht weiter, irgendwie hängts

30.12.2010, 18:40

Eyvan

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{5-x^{2} } } = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

du ziehst
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5-x^{2} } } = \frac{3}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt erst darfste quadrieren:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{5-x^{2} } })^2 = (\frac{3}{2}-\frac{1}{x})^2 \end{eqnarray*}$

Was du getan hast war
$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{x})^2 \end{eqnarray*}$
und das ist nunmal nicht $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2}-\frac{1}{x})^2 \end{eqnarray*}$
Stichwort: Binomische Formeln.

30.12.2010, 18:45

rainbow_01

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soweit kapier ich ja alles, hab jetzt die binom. formel benutzt un dann ausmultipliziert, jedoch komm ich nun nich weiter

30.12.2010, 18:46

tohuwabou

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Ok,

ich komm auf ein Polynom $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ Grades, wo dann eine Nullstelle durch probieren gefunden wird.

Also wir haben

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4} - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{5-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4}(5-x^2) - \frac{3(5-x^2)}{x} + (5-x^2) \frac{1}{x^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x^2}-\frac{9}{4}x^2+3x-\frac{15}{x}=2-\frac{45}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5- \frac{9}{4}x^4+3x^3-15x=2x^2-\frac{45}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

Noch ein bisschen zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} x^4-\frac{4}{3}x^3-\frac{37}{9}x^2+\frac{20}{3}x-\frac{20}{9}=0 \end{eqnarray*}$

Hier ist eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$

Kommst du hier weiter? Stichwort Polynomdivision.

30.12.2010, 19:09

rainbow_01

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komischerweise habe ich bei x^3 nen anderen bruch stehn gehabt. Darum kam ich au nich auf ne nullstelle.

Danke dir. Nur frage ich mich, warum in der Lösung noch dieses Ergebnis steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{-5-\sqrt{65} }{6} \end{eqnarray*}$

Klar, die Zahl 1 un 2 bekommt man durch Polynomdivision, nur wie kommen die auf das dritte Ergebnis? Gibt es da ein anderes Verfahren?

30.12.2010, 19:31

tohuwabou

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Also ich hab das jetzt nicht ausgerechnet , aber so sollte es sein :

Man kann ja nun schreiben :

$\begin{eqnarray*} x^4-\frac{4}{3}x^3-\frac{37}{9}x^2+\frac{20}{3}x-\frac{20}{9}=0 = (x-1)(x-2) * g(x) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ dann ein Polynom 2 Grades ist, was du ja z.B durch Polynomdivision ausrechnen kannst, oder schon hast.

Dann müsste dieses Ergebnis eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ sein. Die andere Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ fällt dann raus, da

$\begin{eqnarray*} 5-x^2 > 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, da sonst die Lösung nicht reell wäre.

$\begin{eqnarray*} x^2<5 \Rightarrow -\sqrt{5}<x< \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

30.12.2010, 19:53

tohuwabou

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Zitat:

Original von tohuwabou

$\begin{eqnarray*} 5-x^2 > 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, da sonst die Lösung nicht reell wäre.

Ich hab das ein bisschen dämlich formuliert. Ein Polynom 4 Grades besitz auch 4 Nullstellen. Dieses hat auch 4 , nur eine davon fällt als Lösung raus, da diese die Bedingung

$\begin{eqnarray*} 5-x^2 > 0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt.

Quadrieren, was wir gemacht haben , ist keine Äquivalenzumformung, daher bekommt man auch Lösungen die nicht zulässig sind.

Die Lösungen $\begin{eqnarray*} 1 ,2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{-5-\sqrt{65}}{6} \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} x^2<5 \Rightarrow -\sqrt{5}<x< \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Die andere Lösung von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nicht.

Verständlich?

30.12.2010, 20:32

rainbow_01

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Also wie man auf die letzten beiden Lösungen jetzt kommt is mir klar. Nur leida nich so recht, warum die 4, also

$\begin{eqnarray*} \frac{-5+\sqrt{65} }{6} \end{eqnarray*}$

keine Lösung sein kann. Eher gesagt verstehe ich deine Antwort leider nicht so richtig.

Ich kann es mir nur so erklärn, dass ich durch einsetzen der Lösungen in die Gleichung überprüfe, ob auf beiden Seiten dann das gleiche steht.

Trotzdem danke ich dir für deine Hilfe Freude

31.12.2010, 03:09

tohuwabou

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Nabend

, also ist auch kein Wunder, dass du es nicht verstehst, denn jetzt wo ich das nachgerechnet habe und festgestellt hab, dass die 4. Nullstelle , also die von dir angesprochene

$\begin{eqnarray*} \frac{-5+\sqrt{65}}{6} \approx 0,51038 \end{eqnarray*}$

auch die geforderte Bedingung $\begin{eqnarray*} -\sqrt{5}<x< \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ erfüllt und damit $\begin{eqnarray*} \sqrt{5-x^2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Das alleine reicht aber nicht aus.

An diesem Punkt

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{5-x^2}} \end{eqnarray*}$

muss damit Gleichheit bestehen kann $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-\frac{1}{x} > 0 \end{eqnarray*}$ sein, da

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5-x^2}} \end{eqnarray*}$ immer positiv ist.

Aus $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}-\frac{1}{x}>0 \end{eqnarray*}$ folgt , dass $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}<x \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Die Angesprochene Nullstelle $\begin{eqnarray*} 0,510.. \end{eqnarray*}$ von oben ist kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .Daher kommt sie nicht in Frage.

Gute Nacht.

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