Isomorphismus und Polynome

30.12.2010, 17:20	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus und Polynome Für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N _{0} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} P_{n} := \{p \in \mathbb R [X] \| \end{eqnarray}$ grad $\begin{eqnarray} p \leq n\} \leq \mathbb R [X] \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} p = \sum\limits_{k=0}^n \alpha_{k} X^{k} \in \mathbb R [X] \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \tilde p: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \tilde p(x) := \sum\limits_{k=0}^n \alpha_{k} x^{k} \end{eqnarray}$ . Sei weiter die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi : P_{n} \rightarrow P^{}_{n} , p \rightarrow \psi_{p} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} <\psi_{p} \| q> = \int_ 1 ^1 \! \tilde p(x)\tilde q(x) dx \, \end{eqnarray}$ . Anmerkung: Das INTEGRAL geht von -1 bis 1. Hatte mit Latex Probleme. a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist. b) Sei speziell $\begin{eqnarray} n = 2 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray} p_0, p_1, p_2 \in P_2 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} (\psi_{p_{0} }, \psi_{p_{1} }, \psi_{p_{2} }) \end{eqnarray}$ die zu $\begin{eqnarray} (1,X,X^{2} ) \end{eqnarray*}$ duale Basis ist. Was ein Isomormphismus ist, dürfte klar sein, nur kann ich nicht genau sagen, was Inhalt dieser Aufgabe sein soll. Danke für eure Tipps.
30.12.2010, 19:27	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir klar ist was ein Isomorphismus ist, dann solltest du doch a) bearbeiten können, oder wo liegt das Problem?
30.12.2010, 19:30	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass ich dass Wissen über einen Isom nicht auf diese Aufgabe anwenden kann. Ich verstehe die Zusammenhänge nicht. Erklär mir das mal.
31.12.2010, 14:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast ? Da taucht ein unmotiviertes q auf, wie soll man damit psi definieren ?
01.01.2011, 22:16	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lade mal das Übungsblatt hoch...
01.01.2011, 23:49	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde das in der Tat auch etwas seltsam notiert. Ich verstehe das jedenfalls so: $\begin{eqnarray} \psi ~:~ P_n \to P_n^ ,~ p\mapsto \psi_p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi_p \end{eqnarray}$ ist die Linearform $\begin{eqnarray} q\mapsto \langle p\|q\rangle \end{eqnarray}$ , also diejenige Abbildung, die einem Polynom ihr Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zuweist. Die Linearität nachzuweisen sollte kein Problem sein. Untersuche $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ dann auf Injektivität, indem du den Kern betrachtest. Wenn man schon weiß, dass $\begin{eqnarray} \langle \cdot \| \cdot \rangle \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ ist, ist das besonders leicht. Die Surjektivität ist dann klar, wenn man weiß, dass für einen endlichdimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray} \dim V = \dim V^* \end{eqnarray*}$ gilt.
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14.12.2016, 18:42	Angelo23	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfrage Hallo, Ich wollte fragen ob du diese Erlärung noch mal ein bischen ausführlicher machen? Danke im Voraus

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