Beweise

21.11.2006, 15:00

Sheli

Beweise

Hallo,

ich habe hier eine sehr schwere Aufgabe, finde ich zumindest. Leider weiss ich gar nicht wo ich da ansetzten soll.

Es sei $\begin{eqnarray*} GL(V) := \{\sigma \in L(V) |\sigma \end{eqnarray*}$ ist bijektiv und $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \in L(V)\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

(i) Für jedes $\begin{eqnarray*} \sigma \in GL(V) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \{\sigma + \phi | \phi \in L(V), ||\phi||*||\sigma^{-1}||<1 \} \end{eqnarray*}$ Teilmenge von GL(V)

(ii) GL(V) ist offen in L(V)

(iii) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} I: GL(V)->GL(V) , I(\sigma)=\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ ist stetig diffenrenzierbar.Für die Abbildung $\begin{eqnarray*} DI(\sigma) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} \sigma \in GL(V) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} DI(\sigma): L(V) -> L(V) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} DI(\sigma)(\phi):= -\sigma^{-1}\otimes \phi \otimes \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ = Kringel, V ist der Banachraum und L(V) ist der Vektorraum aller stetigen linearen Abbildungen V->V, versehen mir der Operatornorm.

Ich weiss leider gar nicht wo ich anfangen soll, und es wäre wirklich sehr nett wenn mir da jemand helfen könnte. Hammer

21.11.2006, 16:12

Orakel

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RE: Beweise
Also 1. und 2. löst man über die Neumann-Reihe. Man muss den inversen Operator $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1} \end{eqnarray*}$ so geschickt schreiben, dass man die Eigenschaften der fraglichen Teilmenge ausnutzt. Die Offenheit erhält man, wenn man bedenkt, dass Reihen einen Konvergenzradius haben.

3. Das sollte man einfach nachrechnen können (mit dem Satz über die inverse Funktion in Banachräumen)

21.11.2006, 16:43

Sheli

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Also die Neumannsche Reihe siet ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~A^n \end{eqnarray*}$ und sie konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} (id-A)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und da man ja die Operatornorm hat, und V ein Banachraum ist kann man die hier verwenden smile

ok, aber wie soll man nun die Eigenschaften der Fraglichen Teilmenge ausnutzen? Ich verstehs leider noch nicht unglücklich

21.11.2006, 17:28

Orakel

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Versuche mal in dem Term $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1} \end{eqnarray*}$ das sigma auszuklammern (nach rechts)!!!

21.11.2006, 19:00

Sheli

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also $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1}=\frac{1}{(1+\frac{\phi}{\sigma})\sigma} \end{eqnarray*}$ ?? was besseres fällt mir leider nicht ein verwirrt

<<zusammengefügt>>

also vielleicht besser geschrieben: $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1}=(1+\frac{\phi}{\sigma})^{-1}*\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ und jetzt muss man sicherlich ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} ||\phi||*||\sigma^{-1}||<1 \end{eqnarray*}$ ist..also vielleicht $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1}=(1+\frac{\phi}{\sigma})^{-1}*\sigma^{-1} < 1/2*\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ Aber wo muss man denn da jetzt die neumannsche reihe miteinbringe?

\\edit by mercany: Doppelposts zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!

21.11.2006, 19:41

Dual Space

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Zitat:

Original von Sheli
also $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1}=\frac{1}{(1+\frac{\phi}{\sigma})\sigma} \end{eqnarray*}$ ?? was besseres fällt mir leider nicht ein verwirrt

Hab den Thread nur überflogen, aber wenn mich nicht alles täuscht ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ die Inverse von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Damit macht der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma} \end{eqnarray*}$ keinen Sinn.

21.11.2006, 20:26

Sheli

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ja eigentlich schon, hast recht, aber wie gesagt ich muss diese aufgabe machen, aber leider weiss ich überhaupt nicht weiter unglücklich

21.11.2006, 21:01

Orakel

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Es gilt $\begin{eqnarray*} (\sigma+\phi)^{-1}=((I+\phi\sigma^{-1})\sigma)^{-1}=\sigma^{-1}(I+\phi\sigma^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die Identität auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Du musst dafür sorgen, dass der Operator $\begin{eqnarray*} I+\phi\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, also über die Neumann-Reihe, da die Operatornorm von $\begin{eqnarray*} \phi\sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ streng kleiner als eins ist.

Jetzt MUSS es aber klappen!!! Lehrer

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