Integralrechnung mit Extremwertbestimmung

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Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung mit Extremwertbestimmung
Hi, also folgende Aufgabe, mit der ich mal absolut nicht zurechtkomme:

Für welche Tangente an den Graphen der Funktion mit
ist der Inhalt der Fläche unter der Tangente maximal?

Ich kann höchstens noch mit der Tangentengleichung dienen: .

Bitte helft mir, ich verzweifle an der Aufgabe - vorher haben wir nur Flächen in vielen Varianten und Aufgaben berechnet... Aber das mit Extremwerten zu verbinden... traurig Ich weiß nicht, wie man da ansetzt und vorgeht!

Bitte helft mir... traurig
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Du bestimmst erst die Steigung der Tangente (allgemein):

.

Die Tangentengleichung lautet: .

Setze nun . Bestimme dann b.

Die Fläche ist: .
Du musst darauf achten, dass auf ist

Finde nun das Extremum.
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre dann die Tangentengleichung

Wie und wo soll ich da ein Extremum bestimmen? Wie meinst du das??

Wie soll ich b bestimmen - b ist doch Variabel - je nachdem wo die Tangente liegt.......
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt muss du noch bestimmen.

Punkte auf der Parabel sind :.

. Nach b umformen.
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, soweit so gut... und wie bestimme ich nun die maximale Fläche dazu?
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe grad, dass wenn ich das b in die Tangentenfunktion einsetze, dann folgt:



Irgendwie drehen wir uns im Kreis? Oder was ist los?
 
 
Knilch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube der Markus wurde hier falsch verstanden, seine Aufgabe ist es eine maximale Fläche zu finden die von der X-achse, einer Graden x=1 und der Tangete eingeschlossen wird. Da die X-achse und die Grade x=1 fest stehen muss er die Tangente so bestimmen, dass die Fläche maximal wird.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so gemeint?
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe zwar ne Zeichnung hier, kann die euch aber net zeigen... also die eingeschl Fläche ist beschränkt durch: x- und y- achse, der tangente und einer Senkrechten zur X-Achse (x=1)...

traurig traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also geht es hier eindeutig um die Flächenberchnung eines Trapezes Wink

Gruß Björn
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

hilft mir auch nicht weiter...
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um ein Trapez:

uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss du die Seitenlängen bestimmen:

h=1, denn x ist auf [0,1]
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

so leicht ists glaub ich nicht... die obere seite ist ja die Tangente... wer sagt uns denn, dass die parallel zur x achse steht? die kann doch auch woanders am Graphen von f(x) sein....
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

skizziere dir doch mal die parabel, x=1 und eine bel. Tangente, dann siehst du, dass h=1 ist.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

es ändern sich nur die seiten a und c.
Knilch Auf diesen Beitrag antworten »

die Tangente schneidet doch x=1 nicht umbedingt im Punkt 1/1
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich auch nicht geschrieben.... dass h=1 ist kommt wegen der Begrenzung y-Achse und x=1.
Knilch Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ich hab deine Beschriftung falsch verstanden, meinst du mit h eine Parallele zur Y-achse? Da x=1 die Y-achse nie berührt.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

die seite h ist parallel zur x-achse und wird von der y-achse und x=1 begrenzt!
Knilch Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich dachte nur weil man üblicher Weise senkrechte Strecken mit h kennzeichnet...ist ja auch egal

Also du brauchst im Prinzipnur eine Funktion A(x) aufzustellen die aus (a+c)/2 *h besteht und dann für a und c die Gleichungen einsetzt, h kannst du =1 setzen
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

genau, wobei aber a und c von f(x) abhängen.
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Tangente ist nicht parallel zur X-Achse...

können wir mal auf die Aufgabe kommen? Ich checks nicht...
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

.

, und .

Also: .

.

.

.

Nun Extrema bestimmen...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal ne Skizze smile
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

bezeichne mal a und c in der skizze - es ist mir so immernoch ein rätsel....
Markus23 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, verstehe, danke
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich sehe das etwas anders...

Sei die Tangentenfunktion t(x)=mx+b

Die Seiten a und c entsprechen t(0) und t(1).

Die Steigung der Tangente ergibt sich aus f '(u), wobei u eine Stelle zwischen 0 und 1 ist.
Daraus folgt, dass m=2u entspricht.
Da die Tangente durch den Punkt (u / f(u) ) geht, folgt:

2u²+b=u²+1 <=> b= - u²+1

Also gilt t(x)=2ux-u²+1

Naja und dann eben in die Trapezflächenformel (Hauptbedingung) einsetzen und maximieren...

Gruß Björn
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