Bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über Z modulo 2

31.12.2010, 01:28

Duude

Bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über Z modulo 2

Hallo,
meine Aufgabe lautet:
Bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$

Ich bin da jetzt so rangegangen, dass ich erst systematisch alle Polynome aufgeschrieben habe, die in Frage kommen.

x³+x²+x+1
x³+x²+x
x³+x² +1
...

x+1
x

Insgesamt bin ich dabei auf 9 Polynome gekommen.

Nun weiß ich, dass ein Polynom irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ ist, wenn der Leitkoeffizient 1 ist (ist hier ja überall gegeben, da wir gleich in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ starten und das Polynom nicht erst in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ bringen) und das Polynom keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ hat. Ich habe also in alle Polynome die beiden möglichen Nullstellen 0 und 1 eingesetzt und geschaut, welche niemals 0 werden.

Dies sind

x³+x²+1
x³+x+1
x²+x+1

In meinem Lösungshinweis steht aber, dass noch alle linearen Polynome hinzukommen würden. Also x+1 und x.
Ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt. Diese haben doch Nullstellen...

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.

lg
Duude

31.12.2010, 01:35

lgrizu

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RE: Bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über Z modulo 2
irreduzibel bedeutet nicht, dass die Polynome keine Nullstellen haben, sondern dass sie nicht zerlegbar sind, also nicht reduzibel.

Polynome vom Grad 1 sind "von Natur aus" irreduzibel, Polynome vom Grad 2 zerfallen entweder in Polynome vom Grad 1 oder sind irreduzibel.

Polynome vom Grad 3 zerfallen entweder in ein Polynom ersten Grades und ein Restglied oder sie sind irreduzibel.

Man kann das ganze auch so formulieren:

Irreduzible Polynome, die eine Nullstelle haben sind vom Grad 1 und jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzible.

31.12.2010, 01:51

Duude

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ah, na klar... Ich brauche die Nullstelle bei den Polynomen vom Grad größer als 1 ja nur, um dieses zu zerlegen.

Der erste Teil von deinem letzten Satz macht mir aber noch zu schaffen:

Zitat:

Irreduzible Polynome, die eine Nullstelle haben sind vom Grad 1 und jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzible.

Ein Gegenbeispiel wäre doch z.B.x³+x²+1. Dies ist ein irreduzibles Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ das eine Nullstelle hat, aber sicherlich nicht Grad 1 sondern Grad 3.

Ich hätte das was ich jetzt verstanden habe eher so formuliert:
Irreduzible Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ sind alle Polynome die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle haben, sowie die linearen Polynome, die von Natur aus irreduzibel sind.

Hast du das damit gemeint, oder habe ich was falsch verstanden?

31.12.2010, 02:26

Mulder

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Zitat:

Original von Duude
Ein Gegenbeispiel wäre doch z.B.x³+x²+1. Dies ist ein irreduzibles Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ das eine Nullstelle hat

Ach ja? Welche Nullstelle hat dieses Polynom denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

31.12.2010, 10:52

lgrizu

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RE: Bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über Z modulo 2
Dann wäre deine Herangehensweise völlig falsch:

Zitat:

Original von Duude

und das Polynom keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ hat. Ich habe also in alle Polynome die beiden möglichen Nullstellen 0 und 1 eingesetzt und geschaut, welche niemals 0 werden.

01.01.2011, 16:40

Duude

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Zitat:

Zitat:
Original von Duude
Ein Gegenbeispiel wäre doch z.B.x³+x²+1. Dies ist ein irreduzibles Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ das eine Nullstelle hat

Ach ja? Welche Nullstelle hat dieses Polynom denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Meine Aussage war falsch. Das Polynom x³+x²+1 hat natürlich keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , denn für x=1 wird das Polynom 1 und für x=0 wird das Polynom auch 1. Es hat also keine Nullstelle. (da 0 und 1 die einzigen beiden Werte sind, die man einsetzen darf, da wir uns in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ befinden. )

Jetzt habe ich auch den Satz

Zitat:

Irreduzible Polynome, die eine Nullstelle haben sind vom Grad 1 und jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzible.

verstanden.

Ich beschreibe das nochmals in meinen Worten:
Polynome vom Grad 1 sind immer irreduzibel, egal ob sie eine Nullstelle haben oder nicht.
Ein solches Polynom mit Nullstelle wäre x+1 oder x eines ohne Nullstelle wäre 1. (hier steht ja eigentlich noch $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ dabei, weshalb das auch als Polynom zählen sollte)

Betrachten wir ein Polynom vom Grad größer als 1 und stellen fest, dass es eine Nullstelle hat, dann ist dieses Polynom reduzibel, da man es ja zerlegen kann.
z.B. x²-1 ist ein Polynom vom Grad 2. Es ist reduzibel, da es eine Nullstelle hat - nämlich x=1. Man kann es damit zerlegen in (x-1)(x+1). Diese Zerlegungen - also x-1 und x+1 sind vom Grad 1. Sie haben jeweils eine Nullstelle - nämlich x=1 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Allerdings sind diese Polynome irreduzibel, obwohl sie eine Nullstelle haben, da sie vom Grad 1 sind und damit nicht weiter zerlegbar.

Zitat:

Dann wäre deine Herangehensweise völlig falsch:

Zitat:
Original von Duude

und das Polynom keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ hat. Ich habe also in alle Polynome die beiden möglichen Nullstellen 0 und 1 eingesetzt und geschaut, welche niemals 0 werden.

Mit dieser Vorgehensweise finde ich also alle irreduziblen Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ die vom Grad größer als 1 sind. Deshalb muss ich noch die Polynome vom Grad 1 hinzunehmen. Diese sind dann x-1 (was gleichzeitig x+1 entspricht) und x.

Und damit erhalte ich alle irreduziblen Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$

Diese sind:
x³+x²+1
x³+x+1
x²+x+1
x+1
x
1 (hier bin ich mir unsicher, ob das als Polynom gesehen wird - eigentlich steht hier ja $\begin{eqnarray*} 1x^0 \end{eqnarray*}$ und damit müsste es auch ein Polynom sein)
0 (hier bin ich mir auch unsicher, aus der eben genannten Begründung)

Seid ihr so einverstanden?

Noch eine kleine Frage am Rande:
Was ist denn der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? Bei mir in der Aufgabe stand $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ . Oder ist das nur eine andere Schreibweise?

01.01.2011, 19:01

Mulder

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Zitat:

Original von Duude
Polynome vom Grad 1 sind immer irreduzibel, egal ob sie eine Nullstelle haben oder nicht.

Kann es denn überhaupt sein, dass ein Polynom vom Grad 1 aus irgendeinem R[X] in R keine Nullstelle hat (R ist jetzt irgendein Ring)?

Zitat:

Original von Duude
Was ist denn der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? Bei mir in der Aufgabe stand $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ . Oder ist das nur eine andere Schreibweise?

Ist nur eine andere Schreibweise, das meint das gleiche.

Die konstanten Funktionen (also Polynome vom Grad 0) werden nicht berücksichtigt, die kannst du vergessen.

01.01.2011, 20:11

Duude

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Zitat:

Kann es denn überhaupt sein, dass ein Polynom vom Grad 1 aus irgendeinem R[X] in R keine Nullstelle hat (R ist jetzt irgendein Ring)?

hmm, also ich stelle mir das jetzt erst mal mit ganz normale Funktionen vor. Wenn ich also eine Funktion vom Grad 1 habe, ist diese eine Gerade. Diese darf nicht parallel zur x-Achse verlaufen, weil dann kein x enthalten wäre und du hast ja geschreiben:

Zitat:

Die konstanten Funktionen (also Polynome vom Grad 0) werden nicht berücksichtigt, die kannst du vergessen.

Also hat hier jede solche Funktion (mx+b) eine Nullstelle. Und zwar genau eine.

Ich bin mir noch unsicher,weil deine Aussage sehr allgemein ist. Ein Ring ist ja z.B.
- die ganzen Zahlen mit der üblichen Multiplikation und Addition
- die rationalen Zahlen mit der üblichen Multiplikation und Addition

Aber ich glaube die Aussage ist allgemein gültig, da ein Ausdruck der Form
ax+b=0 für irgendein $\begin{eqnarray*} x=\frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$ immer eine Nullstelle hat. Und dass dieses x existiert ist durch die Eigenschaft des Ringes abgedeckt.

Also würde ich sagen, dass jedes Polynom vom Grad 1 aus einem beliebigen Ring eine Nullstelle hat.

01.01.2011, 20:27

Mulder

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Zitat:

Original von Duude
Und dass dieses x existiert ist durch die Eigenschaft des Ringes abgedeckt.

In deinem Fall muss das -b/a ja gar nicht mehr in Z liegen. Augenzwinkern

Betrachte zum Beispiel f(x)=2x+1. Die Nullstelle (-0.5) liegt nicht mehr in Z.

Insofern: Doch das kann auftreten. Ich habe dich mit meiner Formulierung wohl verunsichert, ich wollte eben von dir wissen, ob es das gibt.

01.01.2011, 20:58

Duude

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da hast du natürlich Recht.. an das einfache Beispiel habe ich gar nicht gedacht.

Also hat nicht jedes Polynom vom Grad 1 unbedingt eine Nullstelle in einem Ring.

Ich glaube ich habe jetzt alles verstanden. Ich fass mein Ergebnis nochmal schnell zusammen:

Alle irreduziblen Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ sind:
x³+x²+1
x³+x+1
x²+x+1
x+1
x

Dabei erhalte ich die ersten drei über systematisches Aufschreiben aller möglichen Polynome und Überprüfung der Polynome auf Nullstellen. Diese drei Polynome haben keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ und sind deshalb irreduzibel, da sie vom Grad kleiner gleich 3 sind und nur über das Vorhandensein von Nullstellen in irreduzible Polynome vom Grad 2 oder 1 zerfallen könnten. Zudem kommen noch die linearen Polynome hinzu. Diese sind von Natur aus irreduzibel, da sie vom Grad 1 sind und deshalb nicht weiter zerlegbar. Bei Polynomen vom Grad 1 spielen Nullstellen keine Rolle. Polynome vom Grad 0 - also die konstanten Funktionen - werden hierbei nicht betrachtet, weshalb die Polynome 1 und 0 auch herausfallen)

Danke euch beiden für die Hilfe smile

Duude

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