Aufgabe zum Polynomvektorraum (und dem Dualraum)

31.12.2010, 03:46	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Polynomvektorraum (und dem Dualraum) Meine Frage: Hallo zusammen! Beschäftige mich für eine Hausaufgabe mit folgender Fragestellung: Zunächst was vorliegt: Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} P_{n}:=\left\{p\in \mathbb R [X] \| grad p\leq n\right\} \leq \mathbb R [X] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p=\sum\limits_{k=0}^n a_{k}X^{k} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} p': \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} p'(x):=\sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \end{eqnarray}$ . Sei weiter die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi: P_{n} -> P_{n}^{}, p -> \phi_{p} \end{eqnarray}$ gegeben durch: $\begin{eqnarray} <\phi_{p}\|q>=\int_a^b \! p'(x)q'(x) \, dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ . Aufgaben: 1. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist 2. Sei speziell $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray} p_{0}, p_{1}, p_{2} \in P_{2} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \left(\phi_{p_{0}}, \phi_{p_{1}}, \phi_{p_{2}}\right) \end{eqnarray}$ die zu $\begin{eqnarray} \left(1, X, X^{2}\right) \end{eqnarray}$ duale Basis ist. Meine Ideen:* Zu 1.: Zu zeigen ist meiner Meinung nach, dass die Abbildung linear und bijektiv ist. Ich bin mal davon ausgegangen (und an dieser Stelle bin ich schon unsicher), dass ich sagen darf $\begin{eqnarray} \phi(p)=\phi_{p}(q) \end{eqnarray}$ . Die Linearität erschließt sich aufgrund der Integral-Rechenregeln (dass die Summe zweier Integrale der Funktionen f und g gleich dem Integral der Summe der Funktionen f und g ist bzw. dass ein konstanter Faktor aus dem Integral herausgezogen werden darf) dann recht einfach. Bei der Bijektivität wird es schon schwieriger. Wenn ich mir das nun so vorstelle, glaube ich zwar gut und gern, dass es surjektiv und injektiv ist, wie ich das zeigen soll, fällt mir aber schwer. Zu 2.: Hier habe ich leider noch weniger Ideen. Ich würde zunächst versuchen, die duale Basis herzustellen (und da wirds schon schwer) und anschließend auf die gesuchten Polynome rückzuschließen. Konkretes kann ich da aber leider nicht vorweisen. Über jegliche Art der Hilfe wäre ich sehr dankbar Vielen Dank im Voraus!
31.12.2010, 12:16	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus und Polynome Bitte dort weiterposten

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