Punktspiegelung mit Hyperbel

31.12.2010, 12:07

Lupoo

Punktspiegelung mit Hyperbel

Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem:

Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} y= (x-1)^{-3} + 3 \end{eqnarray*}$
Die Punkte $\begin{eqnarray*} A_{n} (x|(x-1)^{-3} + 3) \end{eqnarray*}$ des Graphen zu f werden durch Punktspiegelung an Z (1|3) abgebildet. Bestätige, dass die Bildpunkte P' wieder auf dem Graphen zu f liegen.

Ich kenne eigentlich nur den Abbildungsmatrix für die Punktspiegelung mit dem Ursprung. Vielleicht muss man zuerst eine Parallelverschiebung mit $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} - 1 \\ - 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durchführen...
Kann mir jemand helfen?

31.12.2010, 15:38

corvus

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RE: Punktspiegelung mit Hyperbel

Zitat:

Original von Lupoo

Ich kenne eigentlich nur den Abbildungsmatrix für die Punktspiegelung mit dem Ursprung.

du kannst dir leicht selbst die Abbildungsgleichungen für Spiegelung
an einem Zentrum Z(a;b) herleiten:
Mach dir eine Zeichnung mit Z(a;b) , einem beliebigem P(x/y) und dem
Spiegelpunkt P'(x' ; y' )
die Koordinaten von P' kannst du nun zB mit Strahlensatz ermitteln:
(x'-x) : (a-x) = 2 : 1
(y'-y) : (b-y) = 2 : 1
also gilt zB
y-b= b-y' und x-a = a - x'

verwende das nun, um für P auf
$\begin{eqnarray*} y - 3 = \frac{1}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$
zu zeigen, dass sein Spiegelbild P' [bei Spiegelung an Z(1/3)] die Gleichung
$\begin{eqnarray*} y' - 3 = \frac{1}{(x'-1)^3} \end{eqnarray*}$
erfüllt..

ok?

31.12.2010, 16:37

Lupoo

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ok jetzt hab ichs kapiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{x- x'}{x- 1} = \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x- 1)^{-3} + 3- y'}{(x- 1)^{-3} + 3- 3} = \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Wenn man das Gleichungssystem löst, kommt man auf $\begin{eqnarray*} y= (x- 1)^{-3} + 3 \end{eqnarray*}$ .
smile

Danke

31.12.2010, 16:44

corvus

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Zitat:

Original von Lupoo
ok jetzt hab ichs kapiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{x- x'}{x- 1} = \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x- 1)^{-3} + 3- y'}{(x- 1)^{-3} + 3- 3} = \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Wenn man das Gleichungssystem löst, kommt man auf $\begin{eqnarray*} y= (x- 1)^{-3} + 3 \end{eqnarray*}$ .
smile

Danke

aber das kannst du doch einfacher haben ?

$\begin{eqnarray*} y - 3 = \frac{1}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

und es ist y-3= 3-y' und x-1 = 1 - x'
also:
$\begin{eqnarray*} 3 - y'= \frac{1}{(1-x')^3} \end{eqnarray*}$
mal(-1) ->
$\begin{eqnarray*} y' - 3 = \frac{1}{(x'-1)^3} \end{eqnarray*}$

smile

02.01.2011, 03:51

Roman Oira-Oira

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Die Aufgabenstellung ist zwar bereits gelöst, mir erscheint die Herangehensweise persönlich aber nicht so naheliegend (Strahlensatz, Streckenverhältnisse).

Vielleicht erscheint mir aber der zuvor beschrittene Weg als ungewöhnlich, weil ich selbst ihn nicht gewohnt bin. Aber ich denke es schadet nicht, auch noch eine alternative Herangehensweise vorzuführen. Kritik am vorher gezeigten Weg möchte ich mir hier nicht anmaßen!

Handelt es sich nicht einfach nur um die Frage, ob der Funktionsgraph der gegebenen Funktion punktsymmetrisch zum Punkt Z(1|3) ist? (Bei Punktsymmetrie zum Punkt P(0|0) würde man von einer ungeraden Funktion sprechen)

Hierzu gibt es doch die einfache Formel $\begin{eqnarray*} f(x) = 2b - f(2a - x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Koordinaten des Spiegelungspunktes sind. Herleitung / Erläuterung dieser Formel siehe Wikipedia.

Man muß also nur noch überprüfen, ob die linke und rechte Seite der Gleichung tatsächlich gleich sind.

Die linke Seite am Beispiel der gegebenen Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1} {(x - 1)^3} + 3 = (x - 1)^{-3} + 3 \end{eqnarray*}$

und für die rechte Seite der Gleichung mit Z(1|3):

$\begin{eqnarray*} 2b - f(2a - x) = 6 - f(2 - x) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 - (\frac {1} {(2 - x) - 1)^3} + 3) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 - \frac {1} {(1 - x)^3} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 - \frac {1} {-(x - 1)^3} = 3 - (-(x - 1)^{-3}) = (x - 1)^{-3} + 3 \end{eqnarray*}$

Linke und rechte Seite der Gleichung sind tatsächlich gleich, was die Punktsymmetrie des Funktionsgraphen in Z(1|3) bestätigt.

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