Normalengleichung, Ebenenform, Vektorform

31.12.2010, 12:50

Mirak

Normalengleichung, Ebenenform, Vektorform

Hey Leute

Ich habe ein Problem bei der Umformung von Ebenengleichungen.

Gegeben: $\begin{eqnarray*} x + 2y + 3z = 9 \end{eqnarray*}$ und ein Punkt $\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Über ein recht kompliziertes Verfahren mit P' und P'' und Verändern der Punktekoordinaten und gleichzeitig die z-Koordinate unbekannt setzen kommt mein Prof am Ende auf die Vektorgleichung:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit einem anderen Verfahren, welches er später benutzt um zu bestimmen, ob Gleichungen und Untervektorraum ist komme ich auch auf:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das spätere Verfahren geht so:

Wieder gegeben: $\begin{eqnarray*} x + 2y + 3z = 9 \end{eqnarray*}$ und kein Punkt

Umformen der Gleichung: $\begin{eqnarray*} z = 3 -\frac{1}{3}x -\frac{2}{3}y \\ \end{eqnarray*}$

Aufstellen der Vektorgleichung: $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 3 -\frac{1}{3}x -\frac{2}{3}y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Richtungsvektoren stimmen überein, aber der Punkt nicht. Was stimmt hier nicht?

Danke, Greetz Mirak

31.12.2010, 13:40

lgrizu

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RE: Normalengleichung, Ebenenform, Vektorform
Du möchtest die Ebene $\begin{eqnarray*} x+2y+3z=9 \end{eqnarray*}$ in Parameterform bringen, sehe ich das richtig?

Der Punkt P liegt in dieser Ebene.

Parametrisieren von zwei Variablen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x+2y+3z=9 \end{eqnarray*}$ bringt dich auf die Lösung.

Welchen Punkt du als Stützvektor wählst ist relativ egal, beide Punkte, sowohl (0,0,3) als auch (6,0,1) liegen in deiner Ebene.

Es gibt etlich viele Parameterdarstellungen der gleichen Ebene, du hast nun zwei gefunden.

31.12.2010, 13:44

Mirak

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Das heißt, dass beide Lösungen richtig sind und ich hätte den Punkt nur in die Gleichung einsetzen müssen um zu sehen, dass mein Punkt P(0, 0, 3) in der Ebene liegt?

Dann war mein Denkfehler, dass ein Punkt ein Vielfaches des anderen Punktes sein müssen.

Danke

31.12.2010, 13:52

lgrizu

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Zitat:

Original von Mirak
Das heißt, dass beide Lösungen richtig sind und ich hätte den Punkt nur in die Gleichung einsetzen müssen um zu sehen, dass mein Punkt P(0, 0, 3) in der Ebene liegt?

Jap, so ist es.

Zitat:

Original von Mirak
Dann war mein Denkfehler, dass ein Punkt ein Vielfaches des anderen Punktes sein müssen.

Danke

Was ist denn das Vielfache eines Punktes?

Dein zuerst beschriebenes Vorgehen ist richtig.

31.12.2010, 16:49

Mirak

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Wenn man z.B. bei Matrizen in der Treppen- bzw. Zeilen-Stufen-Form andere Werte raus bekommt, dann ist es oft ein Vielfaches von einander, weil man sie ZSF auf eine andere Art gelöst hat.

Aber jetzt habe ich es kapiert, danke.

Frohes Neues wünsche ich smile

01.01.2011, 15:37

lgrizu

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Das hieße, wenn ich dich richtig verstanden habe, dass jedes Vielfache eines Lösungsvektors ebenfalls eine Lösung ist, das stimmt aber so nicht.

Die erweiterte Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & |3 \\ 0 & 1 & 1 & |2 \\ 0 & 0 & 1 & |1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=x_3=1 \end{eqnarray*}$ und nur diese.

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