Konvergenz von Folgen

31.12.2010, 13:20	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen Meine Frage: Hallo, zu berechnen sind die grenzwerte der folgen: (i) $\begin{eqnarray} a_{n} =(1+\frac{1}{n} )^{n+p} \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} a_{n} =(1+\frac{1}{n+p} )^{n} \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} a_{n} =(\sqrt[n]{n}-1 ) ^n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also ich weiß, dass gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} )^n= e \end{eqnarray}$ . (i) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n} )^{n+p}=(1+\frac{1}{n} )^n(1+\frac{1}{n} )^p = e1^p= e \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n+p} )^{n}=e^\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ (iii) ich schätze mal, dass die Folge divergent ist, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann. hat jemand einen tipp für mich?? liebe grüße madame
31.12.2010, 15:23	Slash	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur (iii): Wende den binomischen Lehrsatz an, dann hast du eine endliche Summe stehen. Lässt du das n dann gegen unendlich gehen, hast du in gewisser Hinsicht eine Reihe - und von einer Reihe weißt du denke ich, wie man sie auf Konvergenz bzw. Divergenz überprüft.
31.12.2010, 15:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
i) ist richtig. Zur ii): Das ist falsch. Verwende lieber eine ähnliche Argumentation wie bei i). Auch hier kommt nämlich e raus. Zur iii) Wenn du den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ kennst, sollte alles klar sein. @Slash: Das halte ich für keine gute Idee. Zumal es noch nichtmal ein klassische Reihe der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray}$ wäre.
01.01.2011, 12:44	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
zur (iii) es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray}$ . Das ist mir aus der Vorlesung bekannt. Dann müsste ja der Grenzwert 0 sein. ich bin aber ein wenig verwirrt. wir hatten in der übung eine ähnliche folge : $\begin{eqnarray} n(\sqrt[n]{n} -1) \end{eqnarray}$ . Diese Folge divergiert aber....
01.01.2011, 12:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses "hoch n" soll wohl nur Verwirrung stiften. Dass $\begin{eqnarray} a_n^n \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert, wenn schon $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert, ist aber klar. Schließlich gilt $\begin{eqnarray} \|a_n\|^n \leq \|0.5\|^n \end{eqnarray}$ für fast alle n.
02.01.2011, 12:35	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. bei der (ii) komme ich noch nicht ganz weiter. ..
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03.01.2011, 09:08	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere n = m - p. Dann bist du im Prinzip bei der ersten Aufgabe angelangt.
03.01.2011, 10:19	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich habs danke für eure hilfe!

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