Konjugationsklassen /-größe

31.12.2010, 16:30	arctan	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugationsklassen /-größe Hallo, ich habe als Gruppe G alle 3x3 Matrizen über dem Körper mit 2 Elementen gegeben, die Determinante $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ haben. Ich habe zuerst die Größe von G bestimmen sollen und komme mit zweifelhafter Kombinatorik auf $\begin{eqnarray} \left\| G \right\| = 168 \end{eqnarray}$ . Nun sollte ich die Größe der Konjugationsklassen bestimmen und dazu jeweils Repräsentanten in Jordannormalform nehmen: $\begin{eqnarray} I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},<br /> A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},<br /> B := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann (hoffentlich): $\begin{eqnarray} \|K_G(I_3)\| = \left\| \left\{ I_3 \right\} \right\| = 1 \end{eqnarray}$ Die anderen wollte ich über die Größe des Zentralisators $\begin{eqnarray} C_G( \cdot ) \end{eqnarray}$ bestimmen: $\begin{eqnarray} C_G(A) = \left\{ I_3 , A \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C_G(B) = \left\{ I_3, B,B^2,B^3 \right\} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \|K_G(A)\| = \frac{168}{2} = 84, \|K_G(B)\| = \frac{168}{4} = 42 \end{eqnarray}$ . Soweit so gut. Sollte nun nicht jeder Normalteiler Vereinigung der disjunkten Konj.klassen sein? Wenn dem so ist, sollte dann nicht die Summe der Ordnungen wieder die Gruppenordnung ergeben? Oder habe ich mich schon oben vertan beim Bestimmen von $\begin{eqnarray} \left\| G\right\| \end{eqnarray}$ Grüße.
31.12.2010, 19:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen /-größe Hi arctan, Die Gruppenordnung stimmt schon mal. (Die Gruppe nennt sich übrigens GL(3,2)) Das mit den Normalteilern ist auch richtig, nur ist die Gruppe einfach und hat somit keine nichttrivialen Normalteiler - also hilft das nicht unbedingt weiter. Die Idee mit der Jordanschen NF hilft nur ansatzweise, da ja nicht alle Matrizen hier eine JNF besitzen. Es gibt schließlich auch Matrizen mit einem anderen charakteristischen Polynom als $\begin{eqnarray} (x-1)^3 \end{eqnarray}$ . Vielleicht hilft Dir das charakteristische Polynom schon mal als Ansatz für weitere Überlegungen, denn immerhin gehört zu jeder Konjugiertenklasse ja nur ein charakteristisches Polynom. Überlege,welche Polynome überhaupt nur in Frage kommen. Deine Zentralisatoren stimmen übrigens nicht ganz, so ist: $\begin{eqnarray} C_G(A)=\left\{\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&0\\0&c&1\end{pmatrix}\middle\|a,b,c\in \mathbb{F}_2\right\} \end{eqnarray}$ also größer, als Du vermutet hast. $\begin{eqnarray} C_G(B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_G(I_3) \end{eqnarray}$ stimmen aber. Am Ende sollte die Summe der Konjugiertenklassenlängen auch wieder 168 ergeben. Tipp: Es gibt insgesamt sechs Konjugiertenklassen. Gruß, Reksilat.
01.01.2011, 14:02	arctan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen /-größe Hallo, erstmal danke für deine Antwort. Ich soll am Ende der Aufgabe zeigen, dass G einfach ist. Deswegen soll ich wohl die Konj.klassen bestimmen und dann folgern, dass keine Vereinigung (ausser die trivialen Normalteiler) eine Untergruppe sein kann. Das mit der JNF war auch als Teilaufgabe gegeben, aber das mit dem charakt. Polynom ist ja irgendwo das selbe. Ich verstehe nicht ganz, warum es noch andere Polynome als $\begin{eqnarray} (x+1)^3 \end{eqnarray}$ geben soll, da in meinem Körper ja nur noch die 0 wäre. Aber wäre 0 Eigenwert, wäre die Det. 0 und die Matrix nichtmehr invertierbar oder übersehe ich hier was? Grüße.
01.01.2011, 14:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen /-größe Das Polynom $\begin{eqnarray} x^2+x+1 \end{eqnarray}$ hat über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ keine Nullstelle und ist somit irreduzibel. Damit hat das Polynom $\begin{eqnarray} (x^2+x+1)(x+1)=x^3+1 \end{eqnarray}$ nur eine einfache Nullstelle und zerfällt nicht in Linearfaktoren. Eine Matrix mit diesem Char. Polynom ist also nicht trigonalisierbar und kann keine JNF besitzen. Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.01.2011, 18:42	arctan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen /-größe Also, habe es nun hinbekommen über die Begleitmatrizen zu den nicht zerfallenden Polynomen (du hast ja auch eine angegeben). Habe 6 Konj.klassen gefunden, also denke mal bin nicht so falsch. Vielen Dank für die Hilfe.

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