Normalverteilung, Faires Spiel

01.01.2011, 13:22

Peter92

Normalverteilung, Faires Spiel

Meine Frage:
Hallo,

ich hab hier 2 Aufgaben, mit denen ich nicht klar komm:

1) Bei einem Würfel ist die wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln =0,1.
Es wird 1000 mal gewürfelt. Bestimmen Sie den Erwartungswert und ein möglichst kleines k sodass die Anzahl der Sechsen mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 90% in das intervall [Mü-k; Mü+k] fällt.

2) Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 1 =0,2 eine 6 =0,1 und für alle anderen zusammen =0,7.

Es wird ein Spiel nach folg. regeln gespielt:

Person A legt den Einsatz k? fest (k>4) und würfelt 2x. Für beide Würfe gilt:

Fällt eine 6, so muss Person B den Betrag durch Zuzahlen verdreifachen.
Fällt eine 1, só nimmt B 2? für sich.
In allen anderen Fällten bekommt B 1?
Am Ende bekommt Person A den Rest, der übrig bleibt. Bestimme k so dass das Spiel fair ist.

Meine Ideen:
1) Ich hab die lokale Näherungsformel geholt und davon das z>0,9 gesetzt:
k-Mü/Standardabw.>0,9 Mü=100 Standardabweichung= 3\sqrt{10}

Ist der Ansatz so richtig? Dann würde ich jetzt nach k auflösen

2) Hier hab ich erstmal die Gewinne/Verluste aufgestellt
(3*k)=0,1
(k-2)=0,2
(k-1)=0,7

Dann hab ich ein 2-stufiges Baumdiagramm mit 3 Pfaden aufgestellt und die Verluste zusammengerechnet und gleich k gesetzt. Stimmt das so?

Danke im Voraus

01.01.2011, 13:45

Grouser

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Erst einmal zur Aufgabe 1)

Der Erwartungswert ist ja klar.

Um das Intervall zu berechnen würde ich auf die Normalverteilung zurückgreifen. Vielleicht reicht dir dieser Tipp ja bereits.

edit:
Die lokale Näherungsformel sagt mir leider gerade nichts...

01.01.2011, 16:00

Peter92

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Die lokale Näherungsformel ist nix anderes als die Normalverteilung für eine Punktwahrscheinlichkeit P(X=k)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{Standardabweichung*\sqrt{2\pi } } *e^{-0,5z²} \end{eqnarray*}$
z=k-Mü/Standardabweichung

Das hab ich dann gleich 0,9 gesetzt und nach k aufgelöst.
Stimmt das so?

01.01.2011, 21:02

Peter92

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Wäre echt toll, wenn ihr antworten könntet, weil ich in 3 Wochen Abi schreib und grad dafür Übungsaufgaben mach.

01.01.2011, 21:05

Grouser

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Mein Ansatz würde hier glaub ich nur verwirren. Und in deinen müsste ich mich erst einmal wieder einlesen (ist schon etwas her...). Deshalb räume ich das Feld und schau mir später an wie die Lösung dann aussieht.

01.01.2011, 21:08

Peter92

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Ist dein Ansatz wirklich so verwirrend. Vllt. ist meiner ja falsch und die Lösung ist so verwirrend. Kannst deine Idee ruhig schildern, ich bin seit den letzten Tagen so einiges gewöhnt.

01.01.2011, 22:29

Grouser

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Ok, da sich gerade niemand anderes opfert versuch ich's mal (wobei ich dazu sagen muss, dass ich mich durchaus irren kann. Es ist schon lange her, dass ich damit gearbeitet habe).

Erst einmal habe ich die Standardabweichung berechnet.

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{\mu * p * (1-p)} \Rightarrow \sigma = \sqrt{90} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \sigma \geq 3 \end{eqnarray*}$ und ich darf die Normalverteilung nutzen.

Gesucht ist ja das Intervall in der mindestens 90% aller Ereignisse liegen.
Dies wende ich nun auf die Gauschße Glockenkurve an.

Ich suche also die Grenzen des Intergrals in denen die Gauschße Glockenkruve eine Fläche >= 0.9 hat. Da sie symmetrisch zu x = 0 ist, reicht es die obere Grenze zu suchen, die eine Fläche >= 0.95 einschließt.

Also schlage ich diese Grenze in der Tabelle zur Gauschen Glockenkurve nach und bekomme z = 1.65

Da ich weiß: $\begin{eqnarray*} z = \frac{\mu - k}{\sigma} = \frac{100 - k}{\sqrt{90}} \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} k \approx 84.347 \end{eqnarray*}$

Also liegen mehr als 90% im Intervall $\begin{eqnarray*} [100 - 84.374, 100 + 84.374] \end{eqnarray*}$

Da allerdings nur ganze Zahlen Sinn machen nehme ich ein etwas größeres Intervall:
$\begin{eqnarray*} [14, 185] \end{eqnarray*}$

Es wäre nett, wenn jemand mal über meine Überlegungen drübergucken könnte, bevor der arme Peter sich hier etwas falsches abguckt.

02.01.2011, 08:06

Huggy

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Zitat:

Original von Grouser
Es wäre nett, wenn jemand mal über meine Überlegungen drübergucken könnte, bevor der arme Peter sich hier etwas falsches abguckt.

Der Lösungsweg ist korrekt. Allerdings hat sich bei der Berechnung von k ein Fehler eingeschlichen. Das korrekte Ergebnis ist die Differenz des angegebenen Ergebnisses zu 100.

Die Zahl X der geworfenen Sechsen ist näherungsweise normalverteilt mit

$\begin{eqnarray*} \mu =100 \quad \sigma = \sqrt{90} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} Y=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

näherungsweise standardnormalverteilt. Ca. 90 % von Y liegt also im Intervall [-1,65/1,65]. Ca. 90 % von X liegt also im Intervall

$\begin{eqnarray*} \mu \pm 1,65 \sigma \approx 100 \pm 15,653 \end{eqnarray*}$

02.01.2011, 09:34

Peter92

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Den gedanken hatte ich den Gedanken auch verfolgt, dann kam aber für k irgendwas über 100 raus, dann dachte ich, es wär komplett falsch.
Danke für eure Hilfe und @grouser: Deine Antwort war in keiner Hinsicht verwirrend Augenzwinkern

Danke nochmal ihr zwei!!

02.01.2011, 10:16

Peter92

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Ich hab grad in der Tabelle nachgeguckt und für 1,29 ist die Wahrscheinlichkeit etwas über 0,9, genau 0,9015. Könnte ich es auch mit dem Wert machen, also ohne es mit dem Integral der Glockenkurve zu berechnen?

02.01.2011, 10:31

Huggy

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Natürlich kannst du die Werte der Standardnormalverteilung einer Tabelle entnehmen. Das sind ja die ausgerechneten Integralwerte.

Allerdings ist für deine Aufgabe 1,29 falsch. Damit hättest du ein einseitiges 90 %-Intervall ermittelt. Oben fehlen 10 %. Du suchst aber ein zweiseitges 90 %-Intervall. Da fehlen oben und unten jeweils 5 %. Du musst also bei 95 % , d. h. bei 0,95 in die Tabelle der Normalverteilung gehen. Und da findest du den schon genannten Wert 1,65.

05.01.2011, 10:01

Peter92

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Ich hab nochmal versucht so eine ähnliche Aufgabe zu machen und da hab ich mich gefragt wie Huggy von $\begin{eqnarray*} Y=\frac{X-Mü}{Sigma} \end{eqnarray*}$
auf seine Formel Mü+-1,65*Sigma kam.
Ich hätte es wie Grouser umgeformt.

05.01.2011, 12:31

Huggy

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Das ist ja auch in Ordnung, abgesehen von dem Vorzeichenfehler, der Unter- unsd Obergrenze vertauscht. Ich habe das auch so gemacht. Du musst nur beachten, dass das k in der Formel von Grouser nicht das k ist, nach dem in dieser Aufgabe gefragt wurde. Nach Korrektur des Vorzeichens gibt die Formel

$\begin{eqnarray*} z=1,65=\frac{k-100}{\sigma}=\frac{\hat k}{\sigma} \end{eqnarray*}$

die Obergrenze k des Bereichs, in dem mit 90 % Wahrscheinlichkeit die Zahl der gewürfelten Sechsen liegt. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} k=100+1,65\sigma \approx 115,653 \end{eqnarray*}$

In der Aufgabe gefragt ist aber nach $\begin{eqnarray*} \hat k = k -100 \approx 15,653 \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt $\begin{eqnarray*} 100 \pm \hat k \end{eqnarray*}$ die Ober- und Untergrenze des gesuchten Bereichs.

Da mein $\begin{eqnarray*} \hat k \end{eqnarray*}$ in der Aufgabe aber k genannt wurde, hätte Grouser das k in der Formel anders nennen sollen.

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