Trigonometrische Gleichung mit Differentialrechnung beweisen

01.01.2011, 17:51

chr000

Trigonometrische Gleichung mit Differentialrechnung beweisen

Meine Frage:
Zeigen sie mit HIlfe der Differentialrechnung, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> arctan(x) = arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<br /> \end{eqnarray*}$
für alle x au den reellen Zahlen gilt.

Meine Ideen:
Ich hab es zuerst einmal mit linearer Approximierbarkeit versucht,
bin aber noch auf keinen grünen Zweig gekommen.
Dann hab ich es über Taylor versucht zu machen hab da aber auch noch nicht den Durchbruch geschafft.
Kann mir vielleich einer sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin
oder ob das so nichts wird.
Bin für jede Antwort dankbar.

01.01.2011, 18:06

corvus

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RE: Trigonometrische Gleichung mit Differentialrechnung beweisen

Zitat:

Original von chr000
Meine Frage:
Zeigen sie mit HIlfe der Differentialrechnung, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> arctan(x) = arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}<br /> \end{eqnarray*}$
für alle x au den reellen Zahlen gilt.

du sollst das doch mit HIlfe der Differentialrechnung angehen?

also:
berechne für

$\begin{eqnarray*} g(x) = arctan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) \end{eqnarray*}$

die ersten Ableitungen g'(x) bzw. f'(x) ................ und? verwirrt

und dann sollte man noch/wieder über deren Stammfunktionen nachdenken..
.

01.01.2011, 18:34

Manni Feinbein

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RE: Trigonometrische Gleichung mit Differentialrechnung beweisen
Definiere

$\begin{eqnarray*} h(x):=\arctan(x)-\arcsin\left(\frac x{\sqrt{1+x^2}}\right) \end{eqnarray*}$

und zeige zunächst, dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Bestimme dann einen Funktionswert von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

01.01.2011, 18:47

wisili

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RE: Trigonometrische Gleichung mit Differentialrechnung beweisen
Beide Anregungen, jene von Manni und jene von Corvus, sind äquivalent, wenn Mannis Idee des Konstanz-Beweises auch über die Ableitung führt.

02.01.2011, 14:34

chr000

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Danke
Die Idee mit der Konstanz hat mir geholfen.
smile

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