Parallele Vektorfelder [Diff'Geo]

01.01.2011, 20:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallele Vektorfelder [Diff'Geo] Sooo, ich melde mich mal wieder mit einer eigenen Aufgabe aus der Differentialgeometrie, bei der soweit alles klar ist - nur "gefällt" mir der Hinweis nicht. Zur Aufgabe: In unserem Beweis zur Existenz der parallelen VF haben wir im Skript folgende DGL aufgeschrieben ( $\begin{eqnarray} \alpha(u,v) \end{eqnarray}$ sei die Parametrisierung der Fläche, das parallele VF soll die Form $\begin{eqnarray} X = x(t) \cdot \alpha_u + y(t) \cdot \alpha_v \end{eqnarray}$ haben und wir bestimmen das VF entlang der Kurve c(t) = $\begin{eqnarray} \alpha(u(t), v(t)) \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \binom{x}{y}' = -\begin{pmatrix}u' \cdot \Gamma_{11}^1 + v' \cdot \Gamma_{12}^1 & u' \cdot \Gamma_{12}^1 + v' \cdot \Gamma_{22}^1 \\ u' \cdot \Gamma_{11}^2 + v' \cdot \Gamma_{12}^2 & u' \cdot \Gamma_{12}^2 + v' \cdot \Gamma_{22}^2\end{pmatrix} \cdot \binom{x}{y} \end{eqnarray}$ Die Kurve in dieser Aufgabe ist "schön", weil einmal u und einmal v konstant ist (bzw. die Identität und somit keine inneren Ableitungen auftauchen). Die Variablen heißen hier zwar nicht u und v, aber in meiner ersten Fassung will ich mal nicht so sein, ich hoffe, man versteht trotzdem alles. So, dann brauchen wir erst mal die Christoffelsymbole, wir haben sie bereits aus einer früheren Aufgabe und sie müssten stimmen. Sie sind alle Null, bis auf $\begin{eqnarray} \Gamma_{12}^2 = \frac{r'(t)}{r(t)}, ~\Gamma_{22}^1 = -r(t) \cdot r'(t) \end{eqnarray}$ . Bei den beiden gewünschten Kurven ergeben sich also zwei DGL's: 1). $\begin{eqnarray} \binom{x}{y}' = -\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & \frac{r'(t)}{r(t)}\end{pmatrix} \cdot \binom{x}{y} \end{eqnarray}$ Hier ist das v' aus der Formel 0, da v konstant ist: $\begin{eqnarray} v(\theta) = \theta_0 \end{eqnarray}$ . Meine Lösung wäre: x konstant, $\begin{eqnarray} \|y\| = \frac{1}{r(t)} \end{eqnarray}$ 2). $\begin{eqnarray} \binom{x}{y}' = -\begin{pmatrix}0 & -r(t) \cdot r'(t) \\ 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \binom{x}{y} \end{eqnarray}$ Hier ist nun u' gleich 0, da u konstant ist: $\begin{eqnarray} u(t) = t_0 \end{eqnarray}$ Meine Lösung: y konstant, $\begin{eqnarray} x(t) =\exp\left(\frac{1}{2}(r(t)^2\right) \end{eqnarray}$ Was mich nun wie gesagt stutzig macht, ist der Hinweis: Es kommen doch gar keine zweiten Ableitungen vor. Irgendwie schwahnt mir, dass ich noch nicht ganz die parallelen VF durchschaut habe (von der Verschiebung in b) ganz zu schweigen) ... Die DGL mit den Christoffelsymbolen habe ich übrigens im Internet nicht gefunden, unser Prof. schreibt auch schon mal gerne falsches an (oder wir schreiben falsch ab). Wäre nett, wenn die jemand bestätigen könnte. Ich wäre für Hinweise und Anmerkungen dankbar. [attach]17350[/attach]

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