Abschätzung einer Summe

01.01.2011, 20:50	NordicFan	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung einer Summe Hi habe folgende Aufgabe: Zeige, dass es eine positive reelle Zahl $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k(n+1-k)}}\le C \end{eqnarray}$ Wenn man sich die Funktion ansieht, erkennt man, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k(n+1-k)}}\le \int_0^{n+1}\frac1{\sqrt{x(n+1-x)}}\dx \end{eqnarray}$ gilt. Der Wert des Integrals ist genau $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , womit man fertig ist. Ich hätte aber gern eine zweite Lösung (ich trage gerne alternative Lösungen vor, da ist der Lerneffekt höher ), also hab ich einen anderen Ansatz gewählt: $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt{k(n+1-k)}}\right)^2=\sum_{k=1}^n \frac1{k(n+1-k)}+2\sum_{1\le k <m\le n} \frac1{\sqrt{km(n+1-k)(n+1-m)}} \end{eqnarray}$ Die erste Summe ist kleiner als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac 1 2 \left(\frac 1 {k^2} +\frac 1 {(n+1-k)^2}\right) \end{eqnarray}$ und das ist kleiner als $\begin{eqnarray} \frac {\pi ^2}6=\sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ Nun habe ich schon einiges probiert, um die zweite Summe $\begin{eqnarray} \sum_{1\le k <m\le n} \frac1{\sqrt{km(n+1-k)(n+1-m)}} \end{eqnarray}$ nach oben abzuschätzen, aber nichts hat funktioniert (d.h. es sind divergente summen rausgekommen ) Falls jemand eine Idee oder einen Tipp hat und mit mir teilen will, wäre ich sehr dankbar
04.01.2011, 19:47	NordicFan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideen werden immer noch gerne entgegengenommen

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