Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion

01.01.2011, 21:56

Telperion

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Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion

Meine Frage:
Hallo,ich bin neu hier also entschuldigt wenn irgendwetwas nicht in Ordnung ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habe eine Frage zur Untersuchung auf Differenzierbarkeit.
Wenn ich Beispielsweise eine Betragsfunktion gegeben habe muss ich ja an der Stelle, an der der Betrag null wird untersuchen, ob die Funktion dort auch differenzierbar ist.
Wie mache ich das nun?
Vielen Dank für die Hilfe!

Meine Ideen:
Muss man lediglich den Differentialquotienten an der zu untersuchenden Stelle bilden und schauen ob er einen konkreten Wert annimmt oder müssen noch andere Kriterien erfüllt sein? Wenn er divergiert wäre die Funktion an dieser Stelle also nicht differenzierbar?

01.01.2011, 22:14

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Willkommen

Willkommen

am Matheboard,

Du musst den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert des Differentialquotienten betrachten und schauen, ob beide gleich sind

01.01.2011, 23:02

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Danke für die schnelle Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also muss ich folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{f(x_{0}+h)- f(x_{0}) }{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0-} \frac{f(x_{0}-h)- f(x_{0}) }{-h} \end{eqnarray*}$ berechnen und dann schauen ob die gleich sind.
Und wenn die dann endliche Werte annehmen ist die Funktion differenzierbar und wenn sie nicht existieren oder divergieren, dann ist die Funktion nicht differenzierbar?
Mehr muss man dann also nicht machen?
Dankeschön smile

smile

01.01.2011, 23:19

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
So kann man das sagen, du hast also bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x-3| \end{eqnarray*}$ zum Beispiel die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3 \wedge x<3} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3 \wedge x>3} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

02.01.2011, 00:24

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Also, in der hoffnung mich nicht zu doof anzustellen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{| h | }{h} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0-} \frac{f(3-h)-f(3)}{-h}=\frac{| h | }{-h} \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert einmal sgn(h) und einmal -sgn(h) und damit ist die Funktion an x=3 nicht differenzierbar?
Danke schonmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2011, 00:31

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Also ist der Grenzwert einmal 1 und einmal -1, damit ist die Funktion nicht differenzierbar.

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02.01.2011, 00:55

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Okay wunderbar, dann vielen Dank für deine Hilfe!

02.01.2011, 11:29

Armada

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Dominik92

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{| h | }{h} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0-} \frac{f(3-h)-f(3)}{-h}=\frac{| h | }{-h} \end{eqnarray*}$

Du beschreibst hier allerdings zwei Mal den rechtsseitigen GW!!!
Gruß
A

02.01.2011, 13:55

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Hallo,
das verstehe ich aber nicht ganz. Ich habe doch einmal $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0-} x \end{eqnarray*}$ berechnet. Also den Grenzwert des Differentialquotienten für $\begin{eqnarray*} x_{0} = 3 \end{eqnarray*}$ einmal rechtsseitig (0+) und einmal linksseitig(0-).
Was müsste ich den jetzt noch tun?
Danke für die Hilfe

02.01.2011, 14:28

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Das ist soweit auch okay, ich glaube, Armada stört sich wenn dann an der Notation, richtig wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0 \wedge h<0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0 \wedge h>0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .

02.01.2011, 14:39

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Ah okay, ja tut mir leid, ich mache Abitur und unser Lehrer bringt uns das nicht bei. Aber so habe ich gelernt wie ich die Grenzwerte richtig aufschreibe.
Also dann mal vielen Dank!
PS: Müsste bei h<0 nicht ein -h in den Nenner?

02.01.2011, 14:49

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Wenn man vorraussetzt, dass h<0 ist schreibt man das negative Vorzeichen nicht hin.

Wir betrachten einfach mal eine Zahl a mit der Bedingung a<0, dann ist -a>0 und das Relationszeichen dreht sich um.

Ebenso verhält es sich mit dem h, wenn wir vorgeben, dass h<0 ist so ist -h>0, also Vorzeichen weglassen.

Wenn du Probleme damit hast kannst du auch folgende Notation verwenden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{-h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h} \end{eqnarray*}$ .

Und genau das hast du oben getan, deshalb hab ich da kein Problem gesehen.

02.01.2011, 14:52

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Ah in Ordung, jetzt habe ich das auch verstanden.
Dann mal Dankeschön für die Mühe! smile

smile

02.01.2011, 16:03

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Eine letzte Frage dazu noch:
Ich höre oft etwas von dem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Kriterium, weiß aber nicht was das ist. Brauche ich das hier oder wofür ist das gut?
Danke!

02.01.2011, 19:43

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Das Epsilon-delta-Kriterium wird benötigt, um (gleichmäßige) Stetigkeit von Funktionen zu zeigen. Es ist praktisch eine Anwendung der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit.

02.01.2011, 19:52

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Okay, das heißt wenn ich generell zeigen will das eine Funktion stetig ist oder wie soll ich das verstehen?
smile

smile

02.01.2011, 20:01

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Genau, das Kriterium benutzt du, wenn du zeigen möchtest, dass eine Funktion stetig ist.

Jetzt mal ne Frage von mir: Ist das tatsächlich Schulmathematik?

Differenzierbarkeit ja schon noch, aber Stetigkeit mit epsilon-delta...?

02.01.2011, 20:05

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Wie gesagt, das mit Stetigkeit haben wir nicht gemacht, wir haben immer vorrausgesetzt also das wir sie überall differenzieren können. Und mich hat halt interessiert wie man das herausfindet.
Das mit epsilon-delta weiß ich nicht ob das Schulmathematik ist, ich habe das nur immer gehört und wollte wissen was es ist. Dafür dann danke! smile

smile

02.01.2011, 22:46

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Nur dann verstehe ich nicht wieso ich dieses Kriterium brauche, wenn ich doch die fraglichen Stelle der Funktion so ermitteln kann? Also über rechts- und linksseitige Grenzwerte.

03.01.2011, 08:54

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Stetige Funktionen sind nicht notwendiger Weise auch differenzierbar, die Betragsfunktion zum Beispiel, die wir betrachtet haben ist an der Stelle x=3 stetig aber nicht differenzierbar.

Ich weiß auch nicht, in welchem Zusammenhang du nun das $\begin{eqnarray*} \epsilon- \delta \end{eqnarray*}$ Kriterium benutzen sollst.

Vielleicht wäre es nun mal angebracht, eine Aufgabe zu posten, mit der du diese Probleme hast, die besprochene Aufgabe war ja ein Beispiel von mir.

03.01.2011, 15:30

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Das ist jadas Problem, ich habe dazu keine Aufgaben.
Unser Lehrer bringt uns solche Sachen nicht bei, ich höre nur immer von anderen Schulen das die Lehrer den Schülern das da bei bringen, also versuche ich das jetzt selber und da wollte ich nur wissen ob ich dieses Kriterium da auch brauche oder ob das damit nichts zu tun hat.
Trotzdem Danke für die Mühe die du dir gemacht hast.

03.01.2011, 15:34

lgrizu

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Wenn es nicht darum geht, Stetigkeit einer Funktion zu zeigen, dann ist das epsilon-delta-Kriterium nicht anzuwenden, Differenzierbarkeit wird durch den Grenzwert des Differentialquotienten gezeigt (rechts- und linksseitiger Grenzwert).

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert und beidseitig gleich ist.

03.01.2011, 15:38

Telperion

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RE: Untersuchung auf Differenzierbarkeit einer Funktion
Okay, dankeschön, wie gesagt ich bringe mir das selber bei deswegen wusste ich das nicht. smile

smile

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