Tangente zur Parabel bestimmen

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poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente zur Parabel bestimmen
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Parabel(x) = 1*x^2 + 0 * a1*x^1 + 0*x^0, also kurz gesagt x^2 ;P.

Tangente zu Parabel soll bestimmt werden. Über die Tangente weiß ich nur, dass sie durch den Punkt (1/0) geht.

Tangente zur einem Punkt an der Parabel ist ja durch die Ableitung sehr einfach zu bestimmen, aber hier finde einfach keinen Ansatz )-: . Bitte um Eure Hilfe!

a1*1^1 + a0*1^1 = 0. Eine Gleichung hätte ich nun aufgestellt, fehlt mir nur noch die passende zweite Gleichung. Wie heißts so schön, 2 Unbekannte und 2 Gleichungen ;-D.

Schöne Grüße, Poldi

PS: Allen ein Frohes Neues!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Willkommen am Matheboard und ein schönes Jahr 2011,

deine Idee ist ganz gut, zuerst einmal die Ableitung zu bestimmen (es geht auch anders, aber nehmen wir mal diesen Weg Augenzwinkern ).

Was gibt die Ableitung denn an?
 
 
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
x^2 abgeleitet ist 2x und das Erg davon gibt mir die jeweilge Steigung an der Parabel an.

Also lautet z.B. die Steigung beim X-Wert der Parabel "4", 8.

Weiß leider nur noch nicht, wie ich dadurch an die zweite Gleichung komme. Ich habe ja keinen Punkt an der Parabel vorgegeben, hmpf.

PS: Danke fürs Willkommen :-)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Gut, das ist schon mal richtig.

Du sollst doch die Tangente bestimmen, die durch den Punkt (1,0) geht, oder nicht?

Nun erscheint es wirklich vielleicht etwas problematisch, dass dieser Punkt nicht auf der Parabel liegt, das ist aber eigentlich kein Problem.

Wir überlegen uns, dass die Gerade durch einen vorgegebenen Punkt gehen muss, und einen Punkt gemeinsam haben muss mit der Parabel, wir haben also die beiden Punkte (1,0) und und die Steigung in diesem Punkt, nämlich .

Nun kann man die Geradengleichung aufstellen und hat ein System mit zwei unbekannten und zwei Gleichungen.
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
also der Punkt (1/0) ist klar und (x0/x0^2) kommt durch die Parabel, kann ich mir alles noch herleiten und m ist die Steigung mit 2x in wohl einer der liniaren Gleichungen, aber wie ich da nun die beiden Gleichungen aufstelle, da steh ich grad irgendwie auf dem Schlauch.

Bekomm' ich noch ein paar mehr Tips :-)?!?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Wie schaut denn eine allgemeine Geradengleichung aus?

Setz da doch mal die beiden Punkte und die Steigung ein Augenzwinkern
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Tangente(x) = a1*x^1 + a0*x^0

Also einmal hätten wa da ja:

a1 + ao = 0
2a1 + 2a0 = 0

Ach, das stimmt doch hinten und vorne nicht, Hüüüülfe!
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiß erst mal die Tangente und schreibe die allgemeine Geradengleichung auf, mit Steigung und Schnittpunkt auf der y-Achse

Und da setzt Du dann die bekannten Werte ein.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Also die Geradengleichung ist .

Nun setz hier mal die Punkte (1,0) und und die Steigung ein.

@Roman:
werde ich dir nicht als online angezeigt oder bist du der Ansicht, dass ich den Thread nicht im Griff habe?
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
@Igrizu
Sorry für meine Einmischung!
Habe nur auf den letzten Hüüülfe-Ruf gesehen nd nicht auf die Uhrzeit geachtet!
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
wollt jetzt hier an keioner handfesten Ehekriese Schuld haben ;-)..

naja, ob nun m*x+b oder das was ich geschrieben habe, wo liegt da der Unterschied, dooffrag?

meinst Du das, aber da kommt ja dann nen
m*1 + b = 0

und 2*x0*x0 +b = 0 <- das stimmt doch niemals, aber ich hab da wohl echt nen Brett vorm Kopf, sorry!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Also zunächst einmal ist die Gleichung richtig, hier hast du allerdings die Steigung noch nicht eingesetzt, also haben wir dann (mit Steigung):

.

Die linke Seite der zweiten Gleichung stimmt auch, aber der y-Wert ist nicht 0 sondern , es ist also .

Nun löse die erste Gleichung nach b auf und setze dies in die zweite Gleichung ein.

@Roman:

Nichts für ungut, kann passieren Augenzwinkern
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Folgender Punkt geht mir nicht in den Kopf:

Woher wissen wir, dass die Tangente die Steigung 2x hat?

Also wenn ich das gemacht habe, bekomme ich x0 = x0^2


Und nun :-) ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Zitat:

Folgender Punkt geht mir nicht in den Kopf:

Woher wissen wir, dass die Tangente die Steigung 2x hat?


Weil die Ableitung von f(x) an der Stelle wie folgt ausschaut: und, wie du selbst gesagt hast, die Ableitung die Steigung der Tangente angibt.


Zitat:

Also wenn ich das gemacht habe, bekomme ich x0 = x0^2

Das ist falsch, jetzt konzentrier dich mal und Stelle nach b um.
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
schon klar, aber doch erst das Erg davon gibt mir die Steigung an, daher verstehe ich das noch nicht!


b = -2x0

das habe ich in 2x0^2 + b = x^2 eingesetzt.

Also 2x0^2 - 2x0 = x0^2

x0 = x0^2

hmpf, was mach ich denn da falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Zitat:
Original von poldiac
schon klar, aber doch erst das Erg davon gibt mir die Steigung an, daher verstehe ich das noch nicht!


b = -2x0

das habe ich in 2x0^2 + b = x^2 eingesetzt.

Also 2x0^2 - 2x0 = x0^2

Bis hierhin ist alles richtig, aber was machst du denn, um von da dann hierhin zu kommen:

Zitat:
Original von poldiac
x0 = x0^2
verwirrt

Wenn man den Ausdruck umformt sollte man eigentlich oder auch erhalten, was passiert bei dir mit der 2 vor dem x_0 ?
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Ach Mensch, vielmals sorry. Die kleine Mathematik. Potenzen gehören zur Basis.

Frag besser nicht, was ich da gemacht habe, sonst darfst mich um die Ecke bringen und kein Matheanwalt ehm Staatsanwalt würde da eine Anklage erheben ;-).

Nur das mit der Steigung geht mir einfach nicht in den Kopf )-: .

Nun zurück zur Tangentengleichung, wie komme ich nun an diese verflixte Funktion :-)?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Okay, noch mal zur Steigung, die allgemeine Steigung einer Funktion wird durch ihre
Ableitung angegeben, du hast doch richtig gesagt:

Zitat:
Original von poldiac
Also lautet z.B. die Steigung beim X-Wert der Parabel "4", 8.
.

Wir suchen nun eine Tangente an der Stelle der Parabel, diese Steigung ist , ist das jetzt klar?


Dann haben wir , das lösen wir nach x_0 auf, also welche Werte erhalten wir?

Alsi Tipp: Distributivgesetz anwenden und Satz vom Nullprodukt.
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Ok, das mit der Steigung hat jetzt geklingelt, ich habe da etwas übersehen.

Hab' einfach die PQ-Formel angewendet. 1 +- 1, also 0 & 2 sind die Nullstellen.

Nun haben wir wieder eine Parabelfunktion. Wie kommen wir nun noch auf eine liniare Funktion - die Tangentenfunktion :-) ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Zitat:
Original von poldiac
Nun haben wir wieder eine Parabelfunktion. Wie kommen wir nun noch auf eine liniare Funktion - die Tangentenfunktion :-) ?


Verstehst du denn, was wir gerade machen?

Wir sind dabei, die Gleichung der Tangente zu bestimmen, wir haben also nun zwei Stellen an der Parabel ermittelt, deren Tangente durch den Punkt (1,0) geht, diese Stellen sind oder .
Die Funktion f(x)=x² hat also zwei Tangenten, die durch den Punkt (1,0) gehen.

Nun gilt es, noch den y-Achsenabschnitt der beiden Tangenten zu bestimmen.
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Ganz ehrlich, ich stehe gerade auf dem Schlauch, sorry!

Wäre auch nie darauf gekommen, dass es da zwei Tangenten gibt!

Ich habe mir nämlich gesagt, dass die Funktion rechts von (0/0) streng moniton steigt und somit war ich bis jetzt davon fest überzeugt, dass es nur eine Tangente geben kann, die durch den Punkt (1/0) geht.

Brauche leider doch noch einen Tip, wie ich sie nun berechne. Welche Punkte habe ich denn nun von der Tangente?

Möchte mich schon mal vorab vielmals für Deine Hilfe bedanken! Bist bestimmt die ganze Zeit am fluchen....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Lies dir den Thread noch mal in aller Ruhe durch, ich schreibe noch mal kurz nen Überflug, was wir gemacht haben:

1.) Bestimmung der allgemeinen Geradengleichung , da die Tangente ja eine Gerade ist.

2.) Zwei Punkte der Gerade bestimmen, diese waren und .

3.) Bestimmen der Steigung der Tangente über die Ableitung an der Stelle , diese ist .

4.) Bestimmen eines GS unter Ausnutzung von 1.) bis 3.), also das GS






5.) Bestimmen von , also der Stelle der Funktion, an der unsere gesuchte Tangente anliegt, da haben wir zwei Ergebnisse, nämlich .


Nun steht noch folgender Punkt aus:

6.) Bestimmen von b der Geradengleichung an den beiden Stellen x=0 und x=2.
poldiac Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Aua tut das weh, klar, am Scheitelpunkt geht sie natürlich auch durch den Punkt.

Ach Mensch, ich danke Dir vielmals für Deine Geduld - den Rest bekomm ich jetzt hin!

Solltest mal in Aachen sein, lad ich Dich auf nen Prost ein!

Gutes Nächtele!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangente zur Parabel bestimmen
Schön wenn es dann "klick" gemacht hat.

Ebenso eine gute Nacht, ich nehm dich beim Wort, wenn ich mal in Aachen bin Augenzwinkern

Also, wenn noch Fragen sind.....

noch mal als Diagramm, deine Funktion und die beiden Tangenten:



Und ein etwas schnellerer alternativer Lösungsweg:

Die Steigung einer Geraden ist und die Steigung der Tangente ist , unter Ausnutzung der beiden Punkte und erhalten wir:

. was auch auf die Lösungen führt.
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