inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution

02.01.2011, 14:15

CamCook

inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution

Meine Frage:
Moin Moin!

..ich soll eine DGL lösen, die so aussieht:
$\begin{eqnarray*} y'= e^{x+2y} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe es mit der Substitution versucht, und zwar:
z=x+2y
z'=1+2y'
$\begin{eqnarray*} y'= e^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{1+2e^{z} } \, dz = \int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z-ln(z*e^{z}+1)=x+c \end{eqnarray*}$

nun müsste ich nach z auflösen, aber genau das bereiten mir Schwierigkeiten, ich drehe mich irgendwie im Kreis.
Oder habe ich komplett den falschen Ansatz gewählt?

02.01.2011, 18:25

Abakus

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
Hallo!

Sind das keine getrennten Variable?

Grüße Abakus smile

02.01.2011, 18:38

cybernet

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
Hey Abakus,

was meinst du mit getrennten Variablen?
er müsste ja für die allgemeine Lösung jetzt nach z auflösen und rücksubstituieren

02.01.2011, 18:47

CamCook

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
da war cyber etwas schbeller als ich smile

also die gleiche Frage an Abakus..

02.01.2011, 18:53

Koren

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution

Zitat:

Original von CamCook

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{1+2e^{z} } \, dz = \int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z-ln(z*e^{z}+1)=x+c \end{eqnarray*}$

nun müsste ich nach z auflösen, aber genau das bereiten mir Schwierigkeiten, ich drehe mich irgendwie im Kreis.
Oder habe ich komplett den falschen Ansatz gewählt?

bist du dir sicher dass das rauskommt? meiner Meinung nach müsste
$\begin{eqnarray*} z-ln(2*e^{z}+1)=x+c \end{eqnarray*}$ rauskommen
und das kann man dann e hoch nehmen und weiter rechnen

02.01.2011, 19:12

CamCook

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
@Koren

oh, sicher z*ln(2*e^(z)+1)=x+c sollte da stehe, habe mich nur vertippt, ändert aber trotzdem nichts daran, dass ich das nicht auflösen kann unglücklich

02.01.2011, 19:24

Koren

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
oh doch das ändert einiges ;-)
beide Seite e hoch: $\begin{eqnarray*} e^{z-ln(2e^{z}+1)} =e^{x+c} \end{eqnarray*}$

e ^( ln x) = x:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{z}}{2e^{z}+1} =e^{x+c} \end{eqnarray*}$

jetzt nach e^z auflösen und anschließend die Gleichung mit ln logarithmiren
viel Spaß Augenzwinkern

02.01.2011, 19:37

Abakus

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
Das ist die DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{e^{2y}}= e^{x} \end{eqnarray*}$

Daher getrennte Variable. Die Rechnung mit der Substitution habe ich nicht angeschaut.

Grüße Abakus smile

02.01.2011, 19:42

Koren

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
Stimmt Abakus, so gehts viel einfacher gg*

02.01.2011, 20:04

CamCook

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RE: inhomogene DGL 1. Ordnung - Substitution
Ahh, stimmt, das ist ja echt viel einfacher!

Danke, Abakus und Koren!

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