mehrere veränderliche, extrema

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maxkarltor Auf diesen Beitrag antworten »
mehrere veränderliche, extrema
hallo,

es liegt folgende funktion vor: .

so die aufgabe fordert nun:

Man bestimme die Punkte des abgeschlossenen Quadrats ABCD mit den Eckpunkten A(0,0)
B(1,0)
C(1,1)
D(0,1)

in denen f(x,y) die größten werte annimmt.


Mein Problem ist nun, dass ist ja keine "herkömmliche" Extremwertaufgabe, sondern über diesem gegebenen Quadrat...also ich weis nicht, wie man das berechen kann..

Grüße!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dann tu zunächst so, als wäre die Einschränkung auf dieses Quadrat nicht gegeben. Rechne die Extrema aus, und wenn sie passenderweise im Quadrat angenommen werden, gut. Wenn nicht ... dann muss die Funktion ihr Maximum auf einem der vier Punkte annehmen, es muss also ein Randmaximum vorliegen - warum?
maxkarltor Auf diesen Beitrag antworten »

hi cel,

also gut, ich geh mal davon aus, dass die extrema nicht in diesem quadrat angenommen werden, sonst wäre ja nichts neues dabei bei der aufgabe...

wen sie "daneben" liegen, versteh ich nicht warum es dann die eckpunkte sein müssen...?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn noch für eine Möglichkeit gegeben? Das Maximum könnte auf der Verbindung zweier Punkte existieren. Wenn dem aber so wäre, müsste f auf beiden Endpunkten dieser Verbindung einen niedrigeren Wert annehmen als dazwischen - dann hätten wir aber einen Gradienten von Null (bzw. eine zumindest semidefinite Hessematrix). Gerade das haben wir aber ausgeschlossen. Die Funktionswerte müssten steigen und wieder fallen, und genau das klappt nicht, da f ja noch dazu stetig ist.

Stell es dir wie eine eindimensionale Funktion vor:



Wenn ich dich jetzt nach dem Minimum in [0,5; 1] frage - dann sagst du mir, dass es auf dem Rand des Intervalles liegt. So ähnlich ist es auch im Mehrdimensionalen, falls du dir das vorstellen kannst. Ist ein wenig kompliziert, geb ich zu.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@ Cel

Das Maximum kann sich im Prinzip durchaus im Inneren eines Randstücks befinden. Betrachte z. B. die Funktion



Global hat die überhaupt kein Extremum. Wenn man sie nun auf das Quadrat

(0, -1), (0,1), (-1, -1) (-1, 1)

beschränkt, hat sie ein Maximum bei (0, 0). Das liegt im Inneren einer Randseite.
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