Beweise zum Annulator

02.01.2011, 14:36

Thermi

Beweise zum Annulator

Moin!
Ich würde mich über Hilfestellung oder einen prüfenden Blick zu folgenden Beweisen sehr freuen:
Aufgabenstellung:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} dim V < \infty \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) Für $\begin{eqnarray*} U\leq V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} U=\left\{ 0\right\} <=> U^{°}=V^{*} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U=V <=> U^{°}=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

b) Für $\begin{eqnarray*} U_{1}, U_{2}\leq V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left(U_{1}\cap U_{2}\right)^{°}=U_{1}^{°}+U_{2}^{°} \end{eqnarray*}$ .

c) Für $\begin{eqnarray*} U_{1}, U_{2}\leq V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} U_{1}=U_{2}<=>U_{1}^{°}=U_{2}^{°} \end{eqnarray*}$ .

d) Für $\begin{eqnarray*} M\subseteq V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ^{°}\left(M^{°}\right) = span M \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:

a) War mit der Dimensionsformel sehr einfach und wurde hier bereits im Forum gelöst.

b) Hier bin ich leider ratlos und komme mit der Definition der Schnittmenge oder ähnlichem irgendwie nicht weiter.

c) Hier meine Ideen:
Hinrichtung: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} u\in U_{1} \end{eqnarray*}$ , wg. $\begin{eqnarray*} U_{1}=U_{2} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} u\in U_{1} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} u\in U_{2} \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig existiert kein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} v\in U_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\notin U_{1} \end{eqnarray*}$ .
Damit dürfte erstmal klargestellt sein, dass beide Räume exakt die gleichen Elemente beinhalten.
Deshalb kann ich dann sagen:
$\begin{eqnarray*} U_{2}^{°}=\left\{ \lambda\in V^{*}|\lambda(u)=0 ~\forall u\in U_{2}\right\}=\left\{ \lambda\in V^{*}|\lambda(u)=0 ~\forall u\in U_{1}\right\}=U_{1}^{°} \end{eqnarray*}$

Rückrichtung: $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ (Hier wird es etwas schwammig, denke ich)

$\begin{eqnarray*} \forall u_{1}\in U_{1}: ~<\lambda|u_{1}>=0, ~\forall u_{2}\in U_{2}:~ <\lambda|u_{2}>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_{1}^{°}=U_{2}^{°} \Rightarrow ~ <\lambda|u_{1}>=<\lambda|u_{2}> \Rightarrow u_{1}=u_{2} \end{eqnarray*}$ und zwar $\begin{eqnarray*} \forall u_{1}\in U_{1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall u_{2}\in U_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U_{1}=U_{2} \end{eqnarray*}$

d) Hier bin ich leider nicht viel weiter gekommen, als mir klarzumachen, was in $\begin{eqnarray*} ^{°}\left(M^{°}\right) \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Für meine Begriffe nämlich all die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , die, abgebildet durch eine Abb. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ , die jedes $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ auf 0 schickt, ebenfalls auf 0 geschickt werden.

Soweit meine Ideen und Ansätze.
Ich freue mich über jede Antwort!
Danke!

02.01.2011, 21:54

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweise zum Annulator
Hi Thermi,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall u_{1}\in U_{1}: ~<\lambda|u_{1}>=0, ~\forall u_{2}\in U_{2}:~ <\lambda|u_{2}>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_{1}^{°}=U_{2}^{°} \Rightarrow ~ <\lambda|u_{1}>=<\lambda|u_{2}> \Rightarrow u_{1}=u_{2} \end{eqnarray*}$ und zwar $\begin{eqnarray*} \forall u_{1}\in U_{1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall u_{2}\in U_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U_{1}=U_{2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht schwammig, sondern Murks.
Allein Die Zeile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u_1=u_2 \end{eqnarray*}$ und zwar $\begin{eqnarray*} \forall u_{1}\in U_{1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall u_{2}\in U_{2} \end{eqnarray*}$

ist völliger Unsinn. Wenn Du sowieso schon unsicher bist, dann versuche wenigstens jeden einzelnen Schritt ausreichend zu erklären. Und vermeide um Himmels Willen die Quantorensymbole - die sind hier völlig falsch plaziert und auch sonst absolut unnötig. Mit übertrieben formalisierter Schreibweise wirst Du niemanden hinters Licht führen können. unglücklich

Für b) solltest Du die Inklusion $\begin{eqnarray*} U_1^0+U_2^0\subseteq (u_1\cap U_2)^0 \end{eqnarray*}$ eigentlich direkt mit der Definition lösen können. Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in U_1^0+U_2^0 \end{eqnarray*}$ ...

Für die andere Inklusion, wie auch für c) und d) wäre es ganz gut, zu wissen, ob Ihr bereits ein paar Resultate zur Verfügung habt.

Gruß,
Reksilat.

02.01.2011, 23:59

Thermi

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die erste Antwort!
Hinters Licht führen will ich bestimmt keinen, bei uns wird viel Wert auf diese formalisierte Schreibweise gelegt, deshalb.
Ich weiß nicht genau, was du unter Resultaten verstehst. Außer der Definition des Annulators, dem Dualraum und der Dimensionsformel gibt es nicht viel, worauf ich zurückgreifen kann. Abgesehen vom Beweis zum umgekehrten Fall von b) ( $\begin{eqnarray*} \left(U_{1}+U_{2}\right)^{°} = U_{1}\cap U_{2} \end{eqnarray*}$ ), mit dem ich aber leider nicht viel anfangen kann bzw. dort ist mir die Aufstellung des Annulators der Klammer klarer als im Fall der Schnittmenge.

03.01.2011, 00:12

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

In Deinem Beweis taucht ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auf, das vorher gar nicht festgelegt wurde. Was $\begin{eqnarray*} <\lambda | u_1> \end{eqnarray*}$ sein soll, ist mir völlig unklar. Und wenn für alle $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} u_1=u_2 \end{eqnarray*}$ sein soll, dann können beide Mengen nur je ein Element haben, was hier einfach Unfug ist.
Du kannst also gar nicht verstanden haben, was Du da schreibst. Wenn Du dennoch versuchst, jemand damit zu überzeugen, machst Du Dir nur selbst was vor.

Mit Resultaten meine ich eben alle Ergebnisse, die bei Dir im Hefter stehen und wo Annulatoren auftauchen. So was wie " $\begin{eqnarray*} U\subseteq W\Rightarrow W^0\subseteq U^0 \end{eqnarray*}$ " ist da nicht zu finden?

Und wenn Du schon einen Beweis in den Mitschriften stehen hast, dann solltest Du diesen erst verstehen, denn anders wirst Du kaum ähnlich angelegte Beweise selbst zustande bringen können.

gn8,
Reksilat.

Neue Frage »

Antworten »

Beweise zum Annulator

Verwandte Themen