Eigenschaften der bedingten Erwartung

02.01.2011, 16:05	Schenniche1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften der bedingten Erwartung Meine Frage: Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Beweisen Sie folgende Eigenschaften der bedingten Erwartung. Verwenden Sie dabei die Eigenschaften der bedingten Erwartung. a) $\begin{eqnarray} E[\alpha Z+ \beta Y\mid I]=\alpha E[Z\mid I]+\beta E[Y\mid I] \end{eqnarray}$ HINWEIS: Verwenden Sie die Linearität des Integrals. b) Ist Y eine I-messbare Zufallsvariable, so gilt $\begin{eqnarray} E[Y\cdot Z\mid I]=Y\cdot E[Z\mid I] \end{eqnarray}$ HINWEIS: Beweisen Sie diese Aussage zunächst für den Fall, dass Y eine Treppenfunkton ist und verwenden Sie anschließend den Satz: "Sei f eine messbare Funktion auf dem Messraum $\begin{eqnarray} (\Omega ,A) \end{eqnarray}$ (A ist eine Sigma-Algebra)). Dann existiert eine Folge $\begin{eqnarray} \left(T_{n} \right)_{n=1}^{\infty } \end{eqnarray}$ messbarer Treppenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert, d.h. für jedes $\begin{eqnarray} \omega \in \Omega \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } T_{n} (\omega)=f(\omega) \end{eqnarray}$ c) Für Sigma-Algebren $\begin{eqnarray} H \subset I \subset A \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} E[E[Z\mid I]\mid H]=E[Z\mid H] \end{eqnarray}$ (Tower Law) d) Sind die Zufallsvariable Z und die Sigma-Algebra I stochastisch unabhängig, so gilt $\begin{eqnarray} E[Z\mid I]=E[Z] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bedingte Erwartung $\begin{eqnarray} Y=E[Z\mid I] \end{eqnarray}$ - Z sei integrierbare Zufallsvariable (=ZV) auf $\begin{eqnarray} (\Omega, A,P) \end{eqnarray}$ (A ist Sigma-Algebra) - Sigma-Algebren mit Beziehung $\begin{eqnarray} I\subset A \end{eqnarray}$ --> Bis auf P-fast-sichere Gleichheit existiert genau eine ZV Y auf Omega, die die folgenden 2 Bedingungen erfüllt: 1. Y ist I-messbar 2. Für alle A Element I gilt: \int_A \! Y \, dP = \int_A \! Z \, dP a) Zu zeigen: $\begin{eqnarray} E[\alpha Z_1 + \beta Z_2\mid I]=\alpha E[Z_1\mid I]+\beta E[Z_2\mid I] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z:=\alpha Z_1 + \beta Z_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y:=E[\alpha Z_1 + \beta Z_2 \mid I] \end{eqnarray}$ 1. zu zeigen: Y ist I-messbar. $\begin{eqnarray} Y=\alpha E[Z_1\mid I]+\beta E[Z_2\mid I] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E[Z_1\mid I] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E[Z_2\mid I] \end{eqnarray}$ sind nach Definition der bedingten Erwartung I-messbar. Somit ist auch Y I-messbar, da Linearkombinationen von I-messbaren Zufallsvariablen wieder I-messbar sind. 2. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \int_A \! (\alpha E[Z_1\mid I]+ \beta E[Z_2\mid I]) \, dP = \int_A \! (\alpha Z_1+ \beta Z_2) \, dP<br /> = \alpha \int_A \! E[Z_1\mid I] \, dP + \beta \int_A \! E[Z_2\mid I] \, dP<br /> = \alpha \int_A \! Z_1 \, dP + \beta \int_A \! Z_2 \, dP<br /> =\int_A \! (\alpha Z_1+ \beta Z_2) \, dP \end{eqnarray}$ b) Da Y eine Zufallsvariable ist, wird sie wie eine Konstante behandelt, wenn Y I-messbar ist. Laut Aufgabenstellung ist dies so und somit lässt sich das Y vor die bedingte Erwartung ziehen. Ich vermute, dies reicht nicht als mathematischer Beweis zumal ja auch dieser Hinweis gegeben ist. Kann mir hier jemand helfen? c) $\begin{eqnarray} E[E[Z\mid I]\mid H] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} E[Z\mid I]:=X \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} E[x\mid H] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_H \! X \, dP=\int_H \! E[x\mid H] \, dP=\int_H \! E[Z\mid I] \, dP=\int_H \! Z \, dP \end{eqnarray}$ Da H eine Teilmenge von I ist, folgt aus der H-Messbarkeit die I-Messbarkeit. Die Urbilder aus H liegen automatisch auch in I. Es gilt auch: $\begin{eqnarray} E[E[Z\mid H]\mid I]=E[Z\mid H] \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} E[Z\mid H] \end{eqnarray}$ H-messbar und somit auch I-messbar. d) Aufgrund der stochhastischen Unabhängigkeit liefert die Informationsmenge I keine neuen Informationen für Z. Somit muss man bei der ursprünglichen Meinung (dem Erwartungswert) bleiben. Reicht diese Begründung als Beweis aus? Vielen Dank für eure Hilfe! LG Jenni

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