Aussage über Integralbeispiele, Beweis Faktorregel |
| 02.01.2011, 16:03 | Risin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Aussage über Integralbeispiele, Beweis Faktorregel meine Frage bezieht sich auf die Analysis. Ich muss nach den Ferien eine Mathe-GFS (GFS = größeres Referat, zählt wie eine Klassenarbeitsnote) über die Rechenregeln der Integration halten. Die Regeln habe ich alle verstanden, nun habe ich dennoch zwei Fragen dazu. 1. Im Schulbuch ist eine Aufgabe, welche ich der Klasse vorstellen soll, nachdem ich die Rechenregeln erklärt habe. Wie diese aussieht, seht ihr im angefügten Bild! [attach]17359[/attach] Das Integral ist also bekannt, nun soll ich über verschiedene "Abwandlungen" des Integrals Aussagen machen. Meine Frage: Was für Aussagen werden hier verlangt? Ich verstehe nicht , was genau ich zu den Integralen sagen soll. 2. Ich soll eine der Rechenregeln für die Integration beweisen (z.B. Faktorregel). Meine Ideen: 1. Mein Ansatz (ich nenne die Integrale einfach mal a),b),c) und d)): a) Hier wurde der konstante Faktor 2 vor f(x) gesetzt. Die Faktorregel besagt ja, dass der konstante Faktor (hier: 2) auch vor das Integral gezogen werden kann. Da das gegebene Integral =3 ergibt, müsste demnach bei a) als Ergebnis 6 herauskommen. b) Hier kann man die Summenregel benutzen. Man könnte die Summe auseinander ziehen, in zwei Teile teilen. c) Hier wurde wieder die Faktorregel angewandt, und zwar wurde ein (?1) vor f(x) gesetzt. d) Hier wurden die Intervallgrenzen ausgetauscht. Weiß jemand von euch weitere Aussagen? Da meine nicht ausreichend sind, schätze ich. Wäre euch sehr, sehr dankbar! 2. Reicht dies durch Einsetzen und Vorrechnen konkreter Zahlenbeispiele? Oder wie wäre dies noch möglich? Ich habe noch nie in Mathe eine Regel beweisen müssen, daher die Frage. Danke im Voraus für jede Antwort! Gruß |
||||||||
| 02.01.2011, 19:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1 a) richtig b) Ja, die Summenregel wird hier verwendet. Du kannst damit das bestimmte Integral aber weiter berechnen, d.h. auch dessen Resultat angeben, nachdem die Grenzen eingesetzt wurden. c) Auch hier: Wie lautet das Resultat? d) Das Vertauschen der Grenzen bedingt welche Änderung des Ergebnisses? 2 Der einfache Beweis kann mit der Umkehrung erfolgen: Die Ableitung der Stammfunktion muss wieder die Ausgangsfunktion ergeben. Bei der Ableitung kommt ebenfalls die Faktorregel zur Anwendung. mY+ |
||||||||
| 03.01.2011, 12:13 | Risin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
|
||||||||
| 03.01.2011, 12:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Besser so: Durch das Vertauschen der Intervallgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.
Man kann das wegen so auffassen.
Ob der von mYthos vorgeschlagene Beweis gültig ist, hängt vom Stand eures Kurses in der Integralrechnung ab. Eventuell geht das also nicht. Dann mußt du mit der Definition des Integrals aus dem Unterricht arbeiten. |
||||||||
| 03.01.2011, 13:38 | Risin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider ist unser Lehrer nicht besonders fähig, solche Sachen logisch beizubringen, daher müssen wir Schüler uns sehr viel selbst beibringen. Hab mal im Schulbuch nachgesehen, dort fand ich zwei Schaubilder, die mir leider nicht ganz einleuchten, vielleicht kann mir ja jemand helfen! Womöglich könnte ich damit die Faktorregel beweisen. Ist zwar nicht gestochen scharf aber wohl hoffentlich trotzdem lesbar: Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten nehmen wir hier nicht! Hänge das Bild an deinen Beitrag an! Zum Vergrößern klicken. [attach]17371[/attach] Zu sehen sind zwei Schaubilder. Das linke besitzt die Funktion y = x², das rechte die Funktion y = 0,5x². Den wirklichen Zusammenhang verstehe ich nur leider nicht. Der Flächeninhalt wird um den Faktor kleiner bzw. größer, mit dem das Integral multipliziert wird. Doch wie beweise ich hiermit die Faktorregel?? Danke im Voraus! |
||||||||
| 03.01.2011, 13:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Rechtecke haben doch alle die gleiche Breite, aber rechts sind diese nur halb so hoch .... Was folgt daraus für die Gesamtfläche? mY+ |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 03.01.2011, 13:56 | Risin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gesamtfläche im rechten Schaubild ist dann halb so groß wie die Gesamtfläche im linken Schaubild. Das leuchtet mir schon ein, nur ich kann keinen Bezug zur Faktorregel herstellen... Diese besagt ja nur, dass konstante Faktoren (in diesem Fall 0,5) vor das Integral gezogen werden können. Wie beweise ich dann damit die Faktorregel? Mir ist klar, dass die Hälfte von 8/3 4/3 ergibt. Aber wie ich das ganze in 'nen Beweis verpacken könnte, ist mir schleierhaft...stehe vermutlich auch nur auf dem Schlauch :/ Achja, sorry wegen dem Link, das nächste mal füg ich's an 
|
||||||||
| 03.01.2011, 14:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun, wenn alle Rechtecke die halbe Fläche haben, dann ist ja auch das Resultat des rechten bestimmten Integrals halb so groß wie jenes des linken. Deswegen kann man den Faktor 0,5 vor das Integral ziehen und hat damit bereits die Faktorregel gezeigt. Wahrscheinlich kommst du mit diesem Beweis deswegen nicht klar, weil er so trivial ist ... 
mY+ |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
Doppelpost!