Ringhomomorphismus

02.01.2011, 17:22

Rio21

Ringhomomorphismus

Hallo, hier die Aufgabe:

Sei (R,+,*) ein Integritätsbereich mit Eins. Für f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x] bezeichne f-schlange: R-->R die zugehörige Polynomabb.
Sei M:={F-schlange I f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x]}.
DEfiniere auf M zwei Verknüpfungen + und *
(f-schlange + g-schlange) (r) := f-schlange(r) + g-schlange (r) für alle r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R,
(f-schlange * g-schlange) (r) := f-schlange(r)* g-schlange(r) für alle r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R.

Offenbar ist (M,+,*) ein Ring.
Man zeige
i) phi: R[x]-->M definiert durch phi(f):=f-schlange ist ein Ring-Homomorphismus.
ii)Ist R unendlicher Ring, so ist phi Ring-Isomorphismus.

-----
so erst einmal zu i)
dafür habe ich die Def. für Ringhomo. vor mir:

Eine Abb. phi: R-->S heißt Ring.Homo. falls für alle r1,r2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R gilt:
1.)phi(r1+r2)=phi(r1)+phi(r2)
2.)phi(r1*r2)=phi(r1)*phi(r2)

also muss ich elemente aus R[x] nehmen, mit + verknüpfen und darauf phi (die abb.) anwenden. das muss das gleiche sein, als wenn ich erst auf die elemente phi anwende und dann mit + verknüpfe.

mein problem besteht darin, dass mich das gegebene verwirrt.
denn dort ist irgendwie ein r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R für das dass gilt. aber ich muss ja jetzt f und g als elemente von R[x] nehmen.

also wie schreib ich das auf?

phi(f+g)=f-schlange +g-schlange=phi(f)+phi(g) wegen der gegebenen def. verknüpfung auf M?

02.01.2011, 17:26

pseudo-nym

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RE: Ringhomomorphismus

Zitat:

Original von Rio21
mein problem besteht darin, dass mich das gegebene verwirrt.

Geht mir auch so. Benutze den Formeleditor.
$\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ statt f-schlange
und $\begin{eqnarray*} f \in R[x] \end{eqnarray*}$ statt f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x]

02.01.2011, 17:31

Rio21

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RE: Ringhomomorphismus
Soll ichjetzt alles nochmal abtippen, da ich nicht editieren kann? Oder könnte mir so evtl. schon einmal einen Tipp geben?

Wie gebe ich denn f-schlange in latexcode ein?

02.01.2011, 17:42

pseudo-nym

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Du könntest deinen Beitrag zitieren. (rechts oben)

Was $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ angeht:

code:
1:	[latex]\tilde f[/latex]

02.01.2011, 17:47

Rio21

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RE: Ringhomomorphismus

Zitat:

Original von Rio21
Hallo, hier die Aufgabe:

Sei (R,+,*) ein Integritätsbereich mit Eins. Für f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x] bezeichne f-schlange: R-->R die zugehörige Polynomabb.
Sei M:={F-schlange I f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R[x]}.
DEfiniere auf M zwei Verknüpfungen + und *
( $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ ) (r) := $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ (r) + $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ (r) für alle r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R,
( $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ ) (r) := $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ (r)* $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ (r) für alle r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R.

Offenbar ist (M,+,*) ein Ring.
Man zeige
i) phi: R[x]-->M definiert durch phi(f):= $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ ist ein Ring-Homomorphismus.
ii)Ist R unendlicher Ring, so ist phi Ring-Isomorphismus.

-----
so erst einmal zu i)
dafür habe ich die Def. für Ringhomo. vor mir:

Eine Abb. phi: R-->S heißt Ring.Homo. falls für alle r1,r2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R gilt:
1.)phi(r1+r2)=phi(r1)+phi(r2)
2.)phi(r1*r2)=phi(r1)*phi(r2)

also muss ich elemente aus R[x] nehmen, mit + verknüpfen und darauf phi (die abb.) anwenden. das muss das gleiche sein, als wenn ich erst auf die elemente phi anwende und dann mit + verknüpfe.

mein problem besteht darin, dass mich das gegebene verwirrt.
denn dort ist irgendwie ein r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R für das dass gilt. aber ich muss ja jetzt f und g als elemente von R[x] nehmen.

also wie schreib ich das auf?

phi(f+g)(r)=( $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ ) (r)= $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ (r)+ $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ (r) =phi(f)+phi(g) wegen der gegebenen def. verknüpfung auf M?

03.01.2011, 10:33

Rio21

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RE: Ringhomomorphismus
kann mir niemand helfen?
oder wenigsten etwas zu dem sagen, was ich als idee habe?

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Ringhomomorphismus

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