Exponentialabbildung bestimmen [Diff'Geo]

02.01.2011, 18:37

Cel

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Exponentialabbildung bestimmen [Diff'Geo]

Und eine weitere Aufgabe, die mir Probleme bereitet:

Bestimmen Sie die Exponentialabbildung $\begin{eqnarray*} \exp_p: T_p S \to S \end{eqnarray*}$ und finden Sie den größten Wert für Epsilon, so dass für $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(0) \subset T_p S \end{eqnarray*}$ die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} \exp_p \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist.

Ich muss das ganze für zwei Flächen machen und fange mit dem Zylinder an. Der gewünschte Punkt ist p = (1,0,0). Meine Parametrisierung habe ich so gewählt: $\begin{eqnarray*} \alpha(u,v) = (\cos(u), \sin(u), v) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha_u = (-\sin(u), \cos(u), 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_v = (0,0, 1) \end{eqnarray*}$ . Es folgt also $\begin{eqnarray*} T_p S = \operatorname{span} ((0,0,1), (0,1,0)) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß auch schon, dass die Geodäten gerade Helixe sind, $\begin{eqnarray*} c(t) = (\cos(t), \sin(t), a \cdot t) \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist nun, dass $\begin{eqnarray*} c_v(0) = p \end{eqnarray*}$ gelten muss, was ja auch passt. Die zweite Bedingung bereitet mir Kopfzerbrechen. $\begin{eqnarray*} c_v'(0) = v \end{eqnarray*}$ für v aus dem Tangentialraum. $\begin{eqnarray*} c_v'(t) = (-\sin(t), \cos(t), a) \Rightarrow c_v'(0) = (0, 1, a) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nun also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (0,2,0) \in T_p S \end{eqnarray*}$ mit der Exponentialabbildung abbilden will, finde ich so keine Geodäte, für die die Ableitung an der Stelle 0 in der zweiten Komponente den Wert 2 annimmt - bei Komponente drei geht es.

Könnte mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben? Vielen Dank im Voraus!

Edit: Die Exponentialabbildung ist bei uns übrigens so definiert:

$\begin{eqnarray*} \exp_p : \{v \in T_p S ~|~\|v\| < \varepsilon\} \to S, ~v \mapsto c_v(1) \end{eqnarray*}$

02.01.2011, 19:55

gonnabphd

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Hi,

Die Geodäten haben eine allgemeinere Form. Man will ja die Geschwindigkeit rundherum auch selber bestimmen können, nicht nur nach oben - es fehlt also ein Vorfaktor.

Wink

Wink

02.01.2011, 20:02

Cel

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Aber die Geodäten sollen ja auf dem Zylinder herumlaufen - wenn ich jetzt die ersten beiden Komponenten auch noch skaliere - dann tun sie das doch nicht mehr. Warum darf ich das machen? Meine Quelle zur Berechnung der Geodäten ist übrigens dieses Dokument. Dort bleibt das R doch auch konstant und wird nicht variiert. Wenn ich die ersten beiden Komponenten auch noch vergrößere oder verkleinere, dann verstehe ich, wie ich auf exp komme.

02.01.2011, 20:08

gonnabphd

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Du darfst aber noch eine Winkelgeschwindigkeit einbauen. (Vorfaktor war wohl das falsche Wort. Hammer

Hammer

)

03.01.2011, 18:54

Cel

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Alles klar, super.

Dann bezeichne ich die Geodäten mal so: $\begin{eqnarray*} c(t) = (\cos(a \cdot t), \sin(a \cdot t), b \cdot t) \end{eqnarray*}$ . Ableiten liefert $\begin{eqnarray*} c'(t) = (-a \sin(a \cdot t), a \cos(a \cdot t), b) \end{eqnarray*}$ . c(0) = p ist immer noch gegeben und c'(0) = v klappt so:

$\begin{eqnarray*} c_v(t) = (\cos(v_2 \cdot t), \sin(v_2 \cdot t), v_3 \cdot t) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} c'_v(0) = v \text{ für } v= (0,v_2, v_3) \in T_p S \end{eqnarray*}$

Demzufolge ist

$\begin{eqnarray*} \exp_p(v) = (\cos(v_2), \sin(v_2), v_3) \end{eqnarray*}$

Zunächst mal: Ist das ok so? Weiter wäre da die Frage, wo das ein Diffemomorphimus ist. v_2 darf sich nur in einem Intervall der Länge Pi bewegen, damit die Funktionen oben bisjektiv bleiben, aber v_3 darf beliebig wachsen. Ich käme damit auf ein Epsilon von Unendlich, was mir komisch erscheint ... Hättest du dazu auch noch einen Tipp, gonnabphd? Aber schon mal danke bis hierher, hat mir geholfen.

03.01.2011, 19:23

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

v_2 darf sich nur in einem Intervall der Länge Pi bewegen, damit die Funktionen oben bisjektiv bleiben, aber v_3 darf beliebig wachsen. Ich käme damit auf ein Epsilon von Unendlich, was mir komisch erscheint ...

Nach Definition ist der Injektivitätsradius $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bei p das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für die

$\begin{eqnarray*} \exp_p: B_r \to U_r \end{eqnarray*}$

ein Diffeomorphismus ist. Da es auf die dritte Komponente nicht ankommt (die schränkt einen ja nicht ein, wie du schon bemerkt hast), muss man lediglich auf die zweite Komponente achten. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sollte hier gut passen.

smile

smile

Edit: Beim Rest habe ich natürlich nichts einzuwenden.

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03.01.2011, 23:10

Cel

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Wunderbar! Damit wäre der Zylinder abgehakt, jetzt komme ich zur S². Eigentlich sollte es hier kein Problem geben, denn in der Vorlesung haben wir die Geodäten bereits bestimmt. Es sind die Großkreise, die die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} c(t) = \cos(t) \cdot e_1 + \sin(t) \cdot e_2 \end{eqnarray*}$ haben. Die e_i's bilden dabei eine ONB.

Gut, ich parametrisiere die Sphäre durch $\begin{eqnarray*} \alpha(u,v) = (u,v, \sqrt{1 - u^2 - v^2}) \end{eqnarray*}$ . In der Aufgabe ist die Exponentialabbildung in p =(0,0,1) zu bestimmen. Da $\begin{eqnarray*} \alpha(0,0) = p \end{eqnarray*}$ folgt mit $\begin{eqnarray*} \alpha_u (u,v) = \left(1,0, \frac{-u}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\right),~\alpha_v (u,v) = \left(0,1,\frac{-v}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\right) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} T_p S = \operatorname{span}((1,0,0),(0,1,0)) \end{eqnarray*}$

Die beiden Vektoren bilden eine ONB und ich kann sie oben für die e_i's einsetzen.
$\begin{eqnarray*} c(t) = (\cos(t), \sin(t), 0) \end{eqnarray*}$ . Und hier beschleicht mich dann abermals das Gefühl, dass die Parametrisierung der Geodäte nicht stimmen kann, da c(0) niemals gleich p werden kann. Mit Winkelgeschwindigkeit ist hier auch nichts zu machen, ich stecke also wieder bei der Geodäten selber. Ich habe mir auch schon überlegt, u, v und den Wurzelterm oben zu permutieren, um eine andere Parametrisierung zu nutzen, aber das führt nur dazu, dass die Ableitung an der gewünschten Stelle gar nicht definiert ist (durch den Nenner, der Null wird). Ich gehe also davon aus, dass Alpha das passende Koordinatensystem ist, liege ich da richtig?

04.01.2011, 01:20

gonnabphd

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Zitat:

Damit wäre der Zylinder abgehakt, jetzt komme ich zur S². Eigentlich sollte es hier kein Problem geben, denn in der Vorlesung haben wir die Geodäten bereits bestimmt. Es sind die Großkreise, die die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} c(t) = \cos(t) \cdot e_1 + \sin(t) \cdot e_2 \end{eqnarray*}$ haben. Die e_i's bilden dabei eine ONB.

Das ist so richtig. Die ONB, welche man will, sollte jedoch die Ebene aufspannen, in der der Grosskreis verlaufen soll. (Insbesondere kann damit nicht eine ONB des Tangentialraumes gemeint sein, denn der Tangentialraum ist ja senkrecht zu p)

Ein Grosskreis verläuft auf dem Schnitt einer Ebene durch den Nullpunkt mit S². Hast du also einen Punkt q, zu dem du von p aus eine Geodäte konstruieren willst, so muss diese Geodäte zwangsläufig auf der Ebene, welche durch p und q aufgespannt wird (und 0 enthält), verlaufen.

Damit bestimmt man die $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ .

Die Parametrisierung ist ok.

Wink

Wink

04.01.2011, 10:31

Cel

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Logisch, ich habe jetzt ja auch Kreise im Tangentialraum um p erzeugt, dass p da nicht drauf liegen kann, ist wohl wohl logisch. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Mit deinem Hinweis kann ich was anfangen. Wenn $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2, x_3) \in S^2 \end{eqnarray*}$ ist, liegen p und x in der Ebene $\begin{eqnarray*} E = \operatorname{span}((x_1, x_2, x_3), (0,0,1)) \end{eqnarray*}$ . Die beiden Vektoren bilden auch eine ONB, da x auf S² liegt.

Dann wäre nach der Parametrisierung $\begin{eqnarray*} c(t) = (x_1 \cdot \cos(t), x_2 \cdot \cos(t), x_3 \cdot \cos(t) + \sin(t)) \end{eqnarray*}$ . So passt das mit c(0) aber nicht, weswegen ich c umparametrisiere. Sollte doch kein Problem sein, damit wäre meine Geodäte

$\begin{eqnarray*} c(t) = \left(x_1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right), x_2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right), x_3 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

c(0) = (0,0,1) passt und $\begin{eqnarray*} c'(0) = (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} c_v(t) = \left(v_1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right), v_2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right), v_3 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Hab's auch mal geplottet, sieht gut aus.

Abschließend ist

$\begin{eqnarray*} \exp_p(v) = \left(v_1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - 1\right), v_2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - 1\right), v_3 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\right) \end{eqnarray*}$

Zum Epsilon: Ich würde sagen, es ist hier 1. Denn nur, wenn v eine Norm von maximal 1 hat, bilden die Vektoren oben eine ONB. Sie wären sonst nur eine Orthogonalbasis. Macht das die Kreise kaputt? Wenn nicht, würde ich wieder wie oben Pi als Epsilon wählen.

04.01.2011, 23:35

gonnabphd

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Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2, x_3) \in S^2 \end{eqnarray*}$ ist, liegen p und x in der Ebene $\begin{eqnarray*} E = \operatorname{span}((x_1, x_2, x_3), (0,0,1)) \end{eqnarray*}$ . Die beiden Vektoren bilden auch eine ONB, da x auf S² liegt.

Orthogonal sind sie nicht unbedingt. Dementsprechend erhält man auch

$\begin{eqnarray*} |c(t)|^2 &=& x_1^2 \cdot \cos^2(t)+ x_2^2 \cdot \cos^2(t)+ x_3^2 \cdot \cos^2(t) + \sin^2(t)+2x_3\cos(t)\sin(t) \\ &=& \cos^2(t) + \sin^2(t) + 2x_3\cos(t)\sin(t) = 1 + 2x_3\cos(t) \end{eqnarray*}$

was im allgemeinen nicht auf S² liegt. Wenn $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann bilden die beiden Vektoren eine ONB und damit hättest du dann auch eine Geodäte auf S².

05.01.2011, 20:10

Cel

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Also, ich habe die Lösung zu diesen Aufgaben heute (wahrscheinlich tw. falsch) abgegeben, aber ich möchte es gerne selbst verstehen.

Deinen Einwand verstehe ich und auch, warum man als zweiten Punkt immer einen auf dem Äquator nehmen kann. Die gewünschte Ebene wird also von (0,0,1) = e_1 und (x,y,0) = e_2 aufgespannt, was zu der Geodäten

$\begin{eqnarray*} c(t) = (x \sin(t), y \sin(t), \cos(t)) \end{eqnarray*}$ führt. c(0) = p klappt wunderbar, und mit $\begin{eqnarray*} c'(t) = (x \cos(t), y \cos(t), -\sin(t)) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} c'(0) = (x,y,0) \end{eqnarray*}$ . Auch in Ordnung, da ja Vektoren aus dem Tangentialraum als dritte Komponente 0 haben. Also wähle ich $\begin{eqnarray*} x = v_1,~y = v_2 \end{eqnarray*}$ .

Damit wäre $\begin{eqnarray*} c_v(t) = (v_1 \sin(t), v_2 \sin(t), \cos(t)) \end{eqnarray*}$

Was jetzt mein Problem war / ist: Die Exponentialabbildung wäre jetzt
$\begin{eqnarray*} \exp_p(v) =(\sin(1) \cdot v_1, \sin(1) \cdot v_2, \cos(1)) \end{eqnarray*}$ .

Damit komme ich aber nicht auf meinen (aus der Vorlesung bekannten) Radius Pi, da das v (bzw. seine Komponenten) gar nicht mehr in den trigonometrischen Funktionen stehen ...

Wie gesagt, der Zettel ist abgegeben, aber ich würde es wirklich gerne vor Rückgabe selbst schaffen, mich hat der Ehrgeiz gepackt. Teufel

Teufel

05.01.2011, 21:58

gonnabphd

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Aaalso.

Es gibt hier zwei Fragen. Wir haben jeweils den Punkt p (von dir) vorgegeben:

Gegeben sei ein Punkt $\begin{eqnarray*} q \in S^2 \end{eqnarray*}$ . Wie bekomme ich die Geodäte von p nach q?
Gegeben sei ein Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} v \in T_pS^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} \exp_p(v) \end{eqnarray*}$ ?

Diese beiden Fragen wurden oben, glaube ich, ein bisschen vermischt.

Was man anschaulich tun kann für die erste Frage: Man benutzt einen Einheitsvektor in der xy-Ebene um von p aus auf den anderen Punkt q "zu zielen", und verändert dann die Winkelgeschwindigkeit so, dass q genau für t=1 getroffen wird.

Bei der zweiten Frage: Man schaut in welche Richtung die Geodäte gehen soll (man normiert den Vektor), und verändert die Winkelgeschwindigkeit so, dass die Ableitung bei t=0 wie gewünscht rauskommt.

Ersteres gibt einem jeweils die korrekten Vorfaktoren, zweiteres die richtige (Winkel)Geschwindigkeit durch p.

06.01.2011, 09:31

Cel

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Ich muss zugeben, ich bin verwirrt. Beim Zylinder ging es so gut, aber bei der Sphäre hakt es.

Ich denke, es wäre gut, wenn ich deinen zwei Punkten folgen würde und möchte zunächst nur den ersten beantworten, da der zweite mir noch Schwierigkeiten bereitet.

Die Basis der Ebene, die wir nutzen, habe ich ja oben schon angegeben. Damit mein Punkt $\begin{eqnarray*} q = (x,y,0) \in S^2 \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt 1 besucht wird, setze ich die Winkelgeschwindigkeit auf Pi/2:

$\begin{eqnarray*} c(t) = \left(x \sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot t\right), y \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot t\right), \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot t \right)\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist c(0) = p und c(1) = q. Ich habe diese Parametrisierung für $\begin{eqnarray*} q = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, 0) \end{eqnarray*}$ geplottet und sehe, dass das passen müsste. Es ist ja auch |c(t)| = 1. Ist das so ok? Wenn ja, was wäre jetzt für die zweite Frage zu tun? Was muss ich denn nun normieren?

06.01.2011, 23:57

gonnabphd

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Hi Cel,

Das sollte für deinen Punkt q passen. Aber nicht jeder Punkt hat eine verschwindende dritte Komponente.

Für einen beliebigen Punkt (ausser dem Antipodalen zu p) mit Komponenten $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ kann man nun aber die Geodäte nach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y,0) \end{eqnarray*}$

betrachten (das "Zielen"). Und muss dann die Winkelgeschwindigkeit anpassen.

08.01.2011, 13:26

Cel

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Wenn ich deinen Hinweisen folge, führt mich das dann zu

$\begin{eqnarray*} c_v(t) = \left(\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\sqrt{v_1^2+v_2^2} \cdot t\right), \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\sqrt{v_1^2+v_2^2} \cdot t \right), \cos\left(\sqrt{v_1^2+v_2^2} \cdot t\right)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_v(0) = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_v'(0) = v \end{eqnarray*}$ passen auch hier, und endlich wären dann auch in der Exponentialabbildung Veränderliche.

$\begin{eqnarray*} \exp_p(v) = \left(\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\sqrt{v_1^2+v_2^2}\right), \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\sqrt{v_1^2+v_2^2} \right), \cos\left(\sqrt{v_1^2+ v_2^2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wie sieht das aus? Besser als die vorigen Versuche?

Edit: Winkelgeschwindigkeit beim Kosinus geändert.

08.01.2011, 16:27

gonnabphd

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Ich glaube du hast die Frage aus den Augen verloren (?) verwirrt

verwirrt

Wir wollten doch ersteinmal diese angehen:

Zitat:

Gegeben sei ein Punkt $\begin{eqnarray*} q \in S^2 \end{eqnarray*}$ . Wie bekomme ich die Geodäte von p nach q?

Ist $\begin{eqnarray*} q = (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ , dann habe ich dir den Ansatz

$\begin{eqnarray*} c_q(t) = \left(\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left( \omega t\right), \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\omega t \right), \cos(\omega t)\right) \end{eqnarray*}$

vorgeschlagen. Wir wollen nun $\begin{eqnarray*} c_q(1) = q \end{eqnarray*}$ haben. Also muss Omega der Gleichung

$\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) = c_q(1) = \left(\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left( \omega \right), \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \sin\left(\omega\right), \cos(\omega)\right) \end{eqnarray*}$

genügen.

Für die zweite Frage könnte dein Vorschlag passen bis auf die fehlende Winkelgeschw. in der 3. Komponente.

08.01.2011, 16:56

Cel

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Zitat:

Original von gonnabphd
Ich glaube du hast die Frage aus den Augen verloren (?) verwirrt

verwirrt

Könnte durchaus sein. Big Laugh

Big Laugh

Wenn ich die Gleichung nach Omega auflöse, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \omega = \arcsin\left(\sqrt{v_1^2 + v_2^2}\right) \end{eqnarray*}$

Die dritte Komponente stimmt wegen des trigonometrischen Pythagoras auch.

Ist damit dann auch die erste Frage beantwortet? Und was ziehe ich aus den beiden Fragen für eine Lehre? Dass man Geodäten und Exponentialfunktion schärfer trennen muss? Ich frag deshalb noch mal nach, weil ich ja (irgendwie) die zweite Frage einigermaßen gelöst habe, ohne die erste beantwortet zu haben. Eigentlich bin ich genau so vorgegangen: Ich habe die Geodäte zum normierten Vektor gebildet, abgeleitet, eingesetzt. Ich habe nur nicht auf die Forderung geachtet, dass dieser Punkt, in dessen Richtung die Gedäte geht, bei t =1 getroffen wird. Warum ist das wichtig?

Ich verbessere mal die Winkelgeschwindigkeit oben.

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