Beweis zur Gleichheit zweier Determinanten

02.01.2011, 18:56

-_-

Beweis zur Gleichheit zweier Determinanten

$\begin{eqnarray*} A = \left(\alpha_{ij} \right)_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n}\in Mat(n\times n;K) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} B = \left(\left(-1 \right)^{i+j}\alpha_{ij} \right)_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n} \end{eqnarray*}$
jetzt soll gezeigt werden, dass det A = det B gilt.
Dazu habe ich mir überlegt den Entwicklungssatz anzuwenden und erhalte dann ja:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}det(A_{ij}) = \sum\limits_{i=1}^n \left(-1\right)^{i+j}\left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}det(B_{ij}) \end{eqnarray*}$
rechne ich ein bisschen:
$\begin{eqnarray*} \left(-1\right)^{i+j}\left(-1\right)^{i+j} = \left(-1\right)^{2i+2j} = \left(-1\right)^{2}\left(-1\right)^{i+j} = \left(-1\right)^{i+j} \end{eqnarray*}$
und erhalte also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}det(A_{ij}) = \sum\limits_{i=1}^n \left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}det(B_{ij}) \end{eqnarray*}$
damit sind ja beide Seiten fast gleicht - jetzt stört mich nur noch $\begin{eqnarray*} det(A_{ij}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(B_{ij}) \end{eqnarray*}$

aber irgendwie muss es ja einen Zusammenhang zwischen den beiden geben - immerhin haben sie durch $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij} \end{eqnarray*}$ die gleichen Einträge, lediglich im Vorzeichen unterscheiden sie sich. Oder brauche ich das VZ nicht mehr zu beachten nachdem ich es schon in die Summe für die Entwicklung mit eingebracht habe?

02.01.2011, 23:14

Reksilat

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RE: Beweis zur Gleichheit zweier Determinanten
Zuerst:
NIEMALS in einem Beweis mit der Behauptung anfangen! Selbst wenn das zur Beweisfindung legitim ist, so solltest Du das am Ende nicht so aufschreiben und wenn Du das hier im Forum somachst, dann schreibe wenigstens eine Bemerkung dazu.

Dann:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(-1\right)^{2i+2j} = \left(-1\right)^{2}\left(-1\right)^{i+j} \end{eqnarray*}$

Zeigt, dass Du die Potenzgesetze nicht beherrschst. Übe das!
Außerdem multiplizierst Du hier ja einen Wert, der 1 oder -1 ist, mit sich selbst. Das Ergebnis, egal ob $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot(-1) \end{eqnarray*}$ , ist immer das gleiche: $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Letztlich halte ich den Entwicklungssatz hier nicht für hilfreich, da die Matrix $\begin{eqnarray*} B_{ij} \end{eqnarray*}$ eine andere Vorzeichenstruktur hat, als in der ursprünglichen Aufgabenstellung und sich insofern keine Induktion anbietet.
Ich würde hier mit der Leibniz-Formel arbeiten.

Gruß,
Reksilat.

03.01.2011, 08:50

-_-

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Mit den Potenzgesetzen hast du natürlich Recht... Hammer

da war ich im Eifer des Gefechts etwas zu vorschnell...
Das Problem ist, dass die Leibniz Formel nicht verwendet werden darf. Deswegen hatte ich an den Entwicklungssatz gedacht.

03.01.2011, 12:09

Reksilat

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Wieso darfst Du die Leibniz-Formel nicht verwenden? verwirrt

Damit wird zumeist die Determinante überhaupt erst definiert und alles andere, wie auch der Entwicklungssatz, beruht darauf. Es ist widersinnig, das im Beweis auszuschließen.

Allerdings fällt mir gerade ein weitaus einfacherer Beweis ein, der weder direkt den Leibniz, noch den Entwicklungssatz benötigt.
Versuche einfach mal, die Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Produkt von festen Diagonalmatrizen und der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ darzustellen.
Bedenke dabei, dass Multiplikation von rechts mit einer Diagonalmatrix eine Spaltenmanipulation und von links eine Zeilenmanipulation bewirkt.

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