Konvergenz des arithmetischen Mittels gegen Unendlich

02.01.2011, 19:44

Sliffy

Konvergenz des arithmetischen Mittels gegen Unendlich

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe eine kleine Frage, vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
Es geht darum, dass man den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ der empirischen Verteilungsfunktion F(x) für ein beliebiges x angeben soll.

Meine Ideen:
Aus unserem Script habe ich indirekt entnommen, dass
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$
ist.
Die Überlegung ist ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ .
Nach meiner Überlegung sollte dann 0 rauskommen wegen dem 1 durch n, aber ich glaube nicht dass das richtig ist. Ich weiß halt nicht, wie ich die Summe irgendwie umformen kann. Könnt ihr mir da helfen?

02.01.2011, 20:07

René Gruber

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Zitat:

Original von Sliffy
Aus unserem Script habe ich indirekt entnommen, dass
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Brille putzen, oder Skript wegwerfen.

Die empirische Verteilungsfunktion basierend auf der Stichprobe $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n 1_{[x_k,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

es werden also nicht die Stichprobenwerte, sondern damit im Zusammenhang stehende Indikatorfunktionen summiert!

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